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  这些数学常识，你都知道吗？


1.  直线上点的个数与正方形中点的个数一样多； 同样的，圆圈上点的个数也和直线上的点个数一样多。


2. （莫比乌斯带）取一张长纸条，将一端扭一180度后与另一端粘合， 你就得到一张只有一个面的纸条。
进一步， 沿着这个纸条的中心线剪开， 你会得到两个互相套在一起的纸环。


3.   地球上任何一个时刻，必定有一处完全没有风（即风速为零）。
注记：用数学语言来说，就是球面上不存在处处非零的连续切向量场。这是一个拓扑问题，但同时有联系了微分几何的性质。它反映了球面的拓扑特性。


4.  不能用尺规作图三等分一个角；
    但是我们能用尺规作图作出正17边形（Gauss十四岁时首次发现）。
注记： 这个问题的解法极为巧妙，可以参看《100个著名数学问题》。


5. （走迷宫）  其必胜秘诀是： 进入迷宫后，左手贴着墙不要离开， 一直走下去， 必定会走出来。



6. （四色问题）： 任何地图，只要用四种颜色就能将所有地区（或国家）区别开来。
注记： 假如我们的地球不是一个球而是一个面包圈，那么这个结论就不一样了。
四色定理本质上反映了球面的拓扑特性。可以参看《拓扑学奇趣》这本书。


7. 一个约三四十人的班上， 有两个人生日相同的概率竟然高达百分之九十几。
(本人有幸亲身应验了这件事)


8.  天气预报可以由一组精确的方程组确定。但遗憾的是， 它的解会随着时间的流逝而越来越越远离正确值。 换句话说， 不管计算机多精确只能在有限时间内精确预报出天气。

作者注： 这就是混沌理论的最具体例子。


9.   凸多面体的欧拉公式：

                                       面的个数 + 顶点个数 - 棱的个数=2.

     世界上只有5种正多面体。
注记：这个结论后来被推广到更一般的情形，就是现代数学中最基本的“同调理论”--主要归功于大数学家庞加莱。可以认为这是拓扑学的真正开始。可以参看一本很有趣的哲学小册子《证明与反驳》。此书就是以此为案例来讨论的。


10. 如何计算圆周率π？有很多巧妙办法，其中之一是：
                    π/4=1- 1/3+ 1/5- 1/7+ 1/9- 1/11+ 1/13-1/15+......
注记： 很多计算圆周率的方法都直接或间接源自于椭圆函数的理论。椭圆是个奇妙的东西。为了寻求“求椭圆周长”的方法，人们逐步发现了无数神奇美妙的数学宝藏。它将数论、几何、分析等等都联系在一起，可以说是一只“真正会产金蛋的鸡”。


11.  （等周问题） 长度为一定的的平面闭合曲线中，以圆所围的平面面积为最大。
注记：初等证法可以参看《数学中的智巧》一书。



12.  任何整数都能表示为不多于4个平方数之和；
    任何>9的奇数都能表示为三个奇素数之和；
    哥德巴赫猜想（代号"1+1"）： 任何>6的偶数都能表示为两个奇素数之和吗？

作者注： 素数就是指“除了1和本身外不被其他整数除尽”的正整数。 最小的素数有2,3,5,7,11,13,...



13.   费马最后的定理： 不存在三个正整数 (x,y,z)， 满足x^n+y^n=z^n （n是大于2的整数）。

      n等于2时， 满足方程的整数叫做勾股数。
注记：昨天的帖子里写了。



14. 说谎者悖论： 一个说谎者说“我在说谎。”那么这句话是真是假？

    理发师悖论： 从前一个村里规定，理发师的职责为“专为不自己修面的人修面。” 那理   发 师可不可以为自己修面。

    罗素悖论： 有一本目录书刊，专门罗列所有那些“没有在目录中提及自身书名的书刊”，那么这本书应该把自己罗列进去吗？

注记：罗素悖论是一个深刻的悖论。为了解决它，罗素提出“类”的概念。罗素认为， 我们常常把“集合”误当成了“类”， 集合是不应该包含自身的。



15. （哥德尔不完备性） 任何公理体系中必定会有一个这样命题， 你既不能证明它是对的， 也不能证明它是错的。

打个比方说， 任何法律体系中一定有漏洞，即我们总能找到一种案例， 它不能被法律所管束。
注记：哥德尔证明了，康托猜想“没有一个集合的势比自然数集大且比实数集小。”是一个既不能证明也不能证伪的命题。



16. 任何海岸线的精确长度都会趋向于无穷； 同样地， 雪花的周长无穷大，但是面积有限。

作者注： 这就是分形图形的最简单特例。 网上有许许多多美丽得让人吃惊的分形。 我们对维度的理解实际上存在诸多缺陷。分形理论提供了一种新的观点。维度不再要求是整数，而可以是分数。可参看《什么是数学》一书最新版。