这些数学常识,你都知道吗?
1. 直线上点的个数与正方形中点的个数一样多; 同样的,圆圈上点的个数也和直线上的点个数一样多。
2. (莫比乌斯带)取一张长纸条,将一端扭一180度后与另一端粘合, 你就得到一张只有一个面的纸条。
进一步, 沿着这个纸条的中心线剪开, 你会得到两个互相套在一起的纸环。
3. 地球上任何一个时刻,必定有一处完全没有风(即风速为零)。
注记:用数学语言来说,就是球面上不存在处处非零的连续切向量场。这是一个拓扑问题,但同时有联系了微分几何的性质。它反映了球面的拓扑特性。
4. 不能用尺规作图三等分一个角;
但是我们能用尺规作图作出正17边形(Gauss十四岁时首次发现)。
注记: 这个问题的解法极为巧妙,可以参看《100个著名数学问题》。
5. (走迷宫) 其必胜秘诀是: 进入迷宫后,左手贴着墙不要离开, 一直走下去, 必定会走出来。
6. (四色问题): 任何地图,只要用四种颜色就能将所有地区(或国家)区别开来。
注记: 假如我们的地球不是一个球而是一个面包圈,那么这个结论就不一样了。
四色定理本质上反映了球面的拓扑特性。可以参看《拓扑学奇趣》这本书。
7. 一个约三四十人的班上, 有两个人生日相同的概率竟然高达百分之九十几。
(本人有幸亲身应验了这件事)
8. 天气预报可以由一组精确的方程组确定。但遗憾的是, 它的解会随着时间的流逝而越来越越远离正确值。 换句话说, 不管计算机多精确只能在有限时间内精确预报出天气。
作者注: 这就是混沌理论的最具体例子。
9. 凸多面体的欧拉公式:
面的个数 + 顶点个数 - 棱的个数=2.
世界上只有5种正多面体。
注记:这个结论后来被推广到更一般的情形,就是现代数学中最基本的“同调理论”--主要归功于大数学家庞加莱。可以认为这是拓扑学的真正开始。可以参看一本很有趣的哲学小册子《证明与反驳》。此书就是以此为案例来讨论的。
10. 如何计算圆周率π?有很多巧妙办法,其中之一是:
π/4=1- 1/3+ 1/5- 1/7+ 1/9- 1/11+ 1/13-1/15+......
注记: 很多计算圆周率的方法都直接或间接源自于椭圆函数的理论。椭圆是个奇妙的东西。为了寻求“求椭圆周长”的方法,人们逐步发现了无数神奇美妙的数学宝藏。它将数论、几何、分析等等都联系在一起,可以说是一只“真正会产金蛋的鸡”。
11. (等周问题) 长度为一定的的平面闭合曲线中,以圆所围的平面面积为最大。
注记:初等证法可以参看《数学中的智巧》一书。
12. 任何整数都能表示为不多于4个平方数之和;
任何>9的奇数都能表示为三个奇素数之和;
哥德巴赫猜想(代号"1+1"): 任何>6的偶数都能表示为两个奇素数之和吗?
作者注: 素数就是指“除了1和本身外不被其他整数除尽”的正整数。 最小的素数有2,3,5,7,11,13,...
13. 费马最后的定理: 不存在三个正整数 (x,y,z), 满足x^n+y^n=z^n (n是大于2的整数)。
n等于2时, 满足方程的整数叫做勾股数。
注记:昨天的帖子里写了。
14. 说谎者悖论: 一个说谎者说“我在说谎。”那么这句话是真是假?
理发师悖论: 从前一个村里规定,理发师的职责为“专为不自己修面的人修面。” 那理 发 师可不可以为自己修面。
罗素悖论: 有一本目录书刊,专门罗列所有那些“没有在目录中提及自身书名的书刊”,那么这本书应该把自己罗列进去吗?
注记:罗素悖论是一个深刻的悖论。为了解决它,罗素提出“类”的概念。罗素认为, 我们常常把“集合”误当成了“类”, 集合是不应该包含自身的。
15. (哥德尔不完备性) 任何公理体系中必定会有一个这样命题, 你既不能证明它是对的, 也不能证明它是错的。
打个比方说, 任何法律体系中一定有漏洞,即我们总能找到一种案例, 它不能被法律所管束。
注记:哥德尔证明了,康托猜想“没有一个集合的势比自然数集大且比实数集小。”是一个既不能证明也不能证伪的命题。
16. 任何海岸线的精确长度都会趋向于无穷; 同样地, 雪花的周长无穷大,但是面积有限。
作者注: 这就是分形图形的最简单特例。 网上有许许多多美丽得让人吃惊的分形。 我们对维度的理解实际上存在诸多缺陷。分形理论提供了一种新的观点。维度不再要求是整数,而可以是分数。可参看《什么是数学》一书最新版。
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