逻辑代数基础

逻辑代数运算法则

逻辑函数的化简

卡诺图法

。

算

运）

。辑律

态配原

逻辑代数运算法则

1 .逻辑变量只取： 0 、 1 两种状依据：

2 .与、或、非是三种最基本的逻

与普通代数运算法则类似的：分

律、结合律、交换律等。

与普通代数运算法则不同的：

A •A = A A + A = A A = A (还去

、 ,

消。

取短

含短

被下

中

一、几种形式的吸收律

吸收：多余（冗余）项，多余（冗余）因子掉 ⇒ 被消化了。

长项

短项

1 .原变量的吸收： A + A B = A

证明：左式 = A (1 + B )

= A

1 长

= 右式

留

∴ 原式成立口诀：

量

变 B

)

原 +

反 (

原 (反 )变量

2 . 反变量的吸收： A + A B = A

添冗余项

证明：左式 = A + A B + A B

= A + B (A + A )

= 右式

长中含反 ,

去掉反。

口诀：

, ）

C 。

对项

A ：

完余

+ 相

B 诀

负全冗

A 口

= 余消

正

互为反变量

3 .混合变量的吸收： A B + A C + B C

证明：左式 = A B + A C + B C

= A B + A C + (A + A )B C

= A B + A C + A B C + A B C

添加

添冗余因子

= (A B + A B C ) + (A C + A B C )

（

= A B + A C = 右式

)

( 或

：式

法或非

明 ) （的

举 1

二、德 • 摩根定理

（ D e • M o rg a n )

( ) 证

A • B = A + B 1

(2 ) 穷

A + B = A • B

A • B • C = A + B + C

推广到多变量：

A + B + C = A • B • C

式 (

说明：两个（或两个以上）变量的与非非）运算等于两个（或两个以上）变量（非与）运算。

)

F 。

） )

数：

算法

算变

函式

运加

运不

反达

( 后

反

三、反演定理

内容：将函数式 F 中所有的

• +

+ • 新表

互补

变量与常数均取反

（求

显然： F = F

注意 : (变换时 ,原函数运算的先后顺序

1 .运算顺序：先括号 ⇒ 再乘法 ⇒

2 .不是一个变量上的反号不动。

用处：实现互补运算（求反运算）。号

括

意

例 1 ： F = A • B + C • D + 0

F 1 = A • B + C • D + 0

注意注

F 1 = (A + B )• (C + D )• 1

括号

∴ F = A C + B C + A D + B D

与或式动动

不不

号号

式

例 2 ： F = A + B + C + D + E

F 2 = A + B + C + D + E

反

F 2 = A • B • C • D • E

反

= A • (B + C + D + E )

= A • (B + C + D • E )

∴ F = A • B + A • C + A • D • E

与或）

。短

少项

并下

最留

合去

§ 2 .2 逻辑函数的化简 ? 公式化简法

乘积项的项数最少。最简与或式：

每个乘积项中变量个数

例题：

F1 = A B + B D + A B D + A B C D + A B

= B + B D + A B D + A B C D 吸收消

= B + B D （长中含短，

吸收消去

（长中含反，去掉反）∴ F = B + D

1 （最简与或式）

G )

F 子

E 项

因完

余）

D 全

余冗

+ : 式

F 冗

: G 余

, 或

E F F

F 2 = A D + A D + A B + A C + B D + A C E F + B

A 吸收消去

( 合并项 ) （长中含短，留下短）

= A + A C + B D + B E F + D E F G D E

D E

吸收

消去吸收消去 ( 正负相对

( 长中含反 , 去掉反 )

∴ F = A + C + B D + B E F

2 （最简与 ) )

+G 完

F ）

( 全

E ）

余式

D ,

短

F 3 = A B + A C + B C + B C + B D + B D + A

消冗余项

合并项： A （长中含短，留下

添冗余项： A B

(正负相对 ,余全完 )

= A + B C + B C + B D + B D

添冗余项： (正负相对

C D

∴ F = A + B C + B D + C D

3 （最简与或 )

+ ）

F )

( 式

E ）

完

D 或

短

F 3 = A B + A C + B C + B C + B D + B D + A

消冗余项

合并项：A （长中含短，留下

添冗余项： A B

( 正负相对 , 余全完 )

= A + B C + B C + B D + B D

添冗余项： ( 正负相对 , 余全

C D

∴ F = A + B C + B D + C D （最简与

)

G 数

+ 。

F 子

( 同

E 因

, 相

D 应

讨论 :

F 3 = A B + A C + B C + B C + B D + B D + A

经过化简得最简与或式 :

F 3 = A + B C + B D + C D

项数

或者 :

对

F 3 = A + B C + B D + C D

∴ 化简结果不唯一

) ）

码码

。）

D ）

权雷

法权

恒 C

格变

方 B

： ( :

e ：

法

§ 2 .3 卡诺图法 ? 图形化简

2 .3 .1 预备知识

码制（编码方式 ):表示二进制数 (代 )码的

（每一位的 “ 1” 代表固定的数值

8 4 2 1 码

恒权代码： 5 4 2 1 码

编码分类

二 ? 十进制编

（常用）循环码 (G ra y co d

变权代码：

余 3 循环码

（每一位的 “ 1” 不代表固定的数值 1 1

+ 1 +

2 2

+ +

8 +

4 4

1码 0 1 0 0 1 0 1 0

1 0 1 1 0 1 0

2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1

1 1 0 0 1 1

例 1 二进制数 : 84

十进制数

0 00

1 1 1 1 1 00

数位 : 2 00

i= 3 2 1 0

3 00

8 4 2 1 码 4 01

5 01

i 3 2 1 0 6 01权重 :(2 ) 2 2 2 2

7 01

8 10

基 9 10

10 10

11 10

12 11

13 11

14 11

15 11 1

5 2

码

1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0

)

： 2 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0

a 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0

m 1

数 5 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

例 2 ：二 ? 十进制编 (B C D 码 )

(B inary C oded D ec

四位二进制代码表示一位十进制

十进制数 8 4 2 1

码

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

2 0 0 1 0

3 0 0 11

4 0 1 0 0

5 0 1 0 1 4+ 1

6 0 11 0

7 0 111

8 1 0 0 0 8

9 1 0 0 1

：

示

)表

例 :

十进制数 (两位 ) B C D 码 (8 4 2 1 权重

9 1 1 0 0 1 0 0 0 1

8 7 1 0 0 0 0 1 1 1

7 0 0 0 0 0 1 1 1

码

y 0 1 1 0

1 0

a 码量

1 1 1 1 0 0

r 0 0 0 0

: 1 1

G 1 1 1 1 1 1 编变。

）个位同

码两一不

例 3 ：四位循环码 (G ra y co d e:格雷

两位循环码

十进制数 G ray 码十进制数

0 1 0

0000

相邻 11

1 0001

相邻

2 0011 1 2

3 0010 1 3

相邻

4 0110 1 4

5 0111 1 5

6 0101

7 0100 特点：相邻

相邻

8 1100 之间，只有

9 1101 的状态取值 )

数 )

函简

法辑

2 .3 .2 卡诺图法 ? 图形化简

卡诺图法步骤 :

一、布阵（画法规则）三

步二、填项 (用卡诺图表示逻

曲

三、勾圈化简 (用卡诺图化则。

规元

定 6

单

一、布阵（画法规则）

卡诺图 :是与真值表关系相对应，按一

画出来的方块图。

n = 3 :N = 8

真 n

n 个变量 :N = 2 项

n = 4 :N = 1

值

表最小项：构成逻辑函数的基本

卡诺图

小方块

0 0 0 0

0 1 1

0 1 1 0

1 1 1

0 0 1 1

1 1 1 1

1 .N = 2 n 格（ n ≤ 5 ） : 最小项

布

阵循环邻接

2 .循环码编排

上下封闭

C D

最小项 0 1

0 0 1 1

A B

编号方式一

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

0 0 0 0

0 1 0 1 00 0 1 01 0 1 1

1 1 1 1

相邻两项：

1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1只有一个变

量取值不同 1 0 00 1 0 01 1 0 1

1 0

逻辑相邻 (四个 )

0 D

1 A

量量 C

最小项取值 = 0 反变

变量

编号方式二：取值 = 1 原变

C D

A B 0 1

0 0 1 1

A B C D 0 0

A B C D

0 1 A B C D

A B C D

1 1 A B C D

1 0

2 4 0

m 0

1 6 1 1

m m m m

最小项（ 8 4 2 1

按十进码制）数编号： m编号方式三： 0

低位

C D

A B 0 1

0 0 1 1

高位

0 0 m m m

0 1 3

0 1 m m m

4 5 7

1 1 m m m

12 13 15

m 8 m 9 m 11

1 0

C 1 .N = 2 n 格（ n ≤ 5 ） : 最小项

布阵 :

2 .循环码编排

最小项编号

方式 :

1 ) 0 0 0 0 ∼ 1 1 1 1

例 :四变量

A B C D A B C D

2 ) ∼

卡诺图

3 ) m 0 ∼ m 15

；

）

项。

的入

二、填项

用卡诺图表示逻辑函数

1 .最小项直接填入；

填 F = 1

2 .刷项（填公因子所包含的项

3 .按 ∑ （ m 0 ,∼ m 15) 编号填

按 F = 1 的与或式填项

B 入

A B

+ 填

D 接

C 直

B 0

例 1 : F (A ,B ,C ,D ) = A B + B D + A B D + A

（ C + C )

C D

A B 0 1

0 0 1 1

0 0

公因子 :

A B D

0 1 1 1

1 1

1 0

有重复 “ 1” 者，只填一个 “ 1” 。

C B

A B

B 0

例 1 : F (A ,B ,C ,D ) = A B + B D + A B D + A

刷项： D

C D

填公因子 A B

0 1 1 1

0 0

包含的项

0 0

0 1 1 1

公因子 :

B D 1

1 1 1

1 0

有重复 “ 1” 者，只填一个 “ 1” 。

C B

A B

B 0

1 1

例 1 : F (A ,B ,C ,D ) = A B + B D + A B D + A

刷项： D

C D

填公因子 A B

0 1 1 1

0 0

包含的项

0 0 1 1 1

0 1 1 1

1 1 1 1

1 0 1 1 1

有重复 “ 1” 者，只填一个 “ 1” 。

C B

A B

B 0

1 1

例 1 : F (A ,B ,C ,D ) = A B + B D + A B D + A

C D

A B 0 1

0 0 1 1 1

0 1 1 1

1 1 1 1

1 0 1 1 1

”

“

F = 1 的项全部填完以后 ,填项结束 ;

不填者自动为

;

≤ 。

束

三、勾圈化简

用卡诺图化简

1 .尽量勾大， 2 i个格消 i个变量

方 2 .至少有一个独立格；

法：

3 .所有 “ 1 ” 值取过，化简结

得到最简与或式。

B B

D 0

1 1

C 1

B C

例 1 : F (A ,B ,C ,D ) = A B + B D + A B D + A

∴ F (A ,B ,C ,D )= B + D

消取值不同

的变量： C D

A B 0 1

0 0 1 1

A + A = 1

0 0 1 1 1

保留公因子：

D 0 1

1 1

保留公因子：

1 1 1 1

B A

1 0 1 1 1

合理重叠（ “1”可以重复使用）。

D +

B B

)

也可以取 F = 0 的项化简 : F (A ,B ,C =

∴ 1

C D

A B 0 1 1 1 1 0

0 0

0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 0

0 0

1 1 1 1

1 0 1 1 1 1

F 1(A ,B ,C ,D ) = B D

D 0

1 1

F 2(A ,B ,C ,D ) = A B + B C D + A B D + A B

填项： D

C D

A B 0 1

0 0 1 1

0 0

0 1 1

1 1 1

1 0 1 1 1

C B

D 0

1 1

F 2(A ,B ,C ,D ) = A B + B C D + A B D + A B

C D

A B 0 1

0 0 1 1

0 0

0 1 1 1

1 1 1 1 1

1 0 1 1 1

F = 1 的项全部填完以后 ,填项结束。 C B B

D 0

B 1

A 1

F 2(A ,B ,C ,D ) = A B + B C D + A B D +∴ F (A ,B ,C ,D ) = A C + A B + B C + A D

C D

A B 0 1

0 0 1 1

勾圈化简

0 0

B C

0 1 1 1

A D

1 1 1 1 1

冗余项

1 0 1 1 1

A C

∴ F (A ,B ,C ,D ) = A B + B C + A D

，

简

最 0

例：用公式化简法得到下式，问是否

若不是请化简之。

F3(A ,B ,C )= A B + A C + A B + B C

填项：

B C

0 0 0 1 1 1 1

0 1 1

1 1 1

B ，

简

最

例：用公式化简法得到下式，问是否

若不是请化简之。

F3(A ,B ,C )= A B + A C + A B + B C

B C

0 0 0 1 1 1 1 0

1 1 1

F = 1 的项全部填完以后 ,填项结束。

F 3(A ,B ,C ) = A B + A C + A B + B C

勾圈化简：

A C

B C

0 0 0 1 1 1 1

1 1 1

A B

∴ F (A ,B ,C ) = A B + A C + B C

F 3(A ,B ,C ) = A B + A C + A B + B C

[ F (A ,B ,C ) = A B + A C + B C ]

B C

0 0 0 1 1 1 1 0

1 1 1

∴ F (A ,B ,C ) = A C + B C + A BA C 3

B C

00 01 11 10A

0 1 1

1 1 1 1

B C

00 01 11 10

0 1 1 1

1 1 1 1

说明：化简结果不唯一。 ) B

]

5 5

,1 1

3 ,m

,1 3

1 0

2 1 1

m 1

高位低位

F 4(A ,B ,C ,D )= Σ m (0 ,1 ,2 ,5 ,6 ,7 ,8 ,1 0 ,1 1 ,1[F 4= Σ （ m 0,m 1,m 2,m 5,m 6,m 7,m 8,m 10,m 11,m 12,

C D D

A B 0 1 1(A ,B ,C ,D ) 0 0 1 1

0 0 1

0 1 1

1 1 1 1

1 0 1 1

C D C

C B

) A

5 C A

,1 B

3 A

F 4(A ,B ,C ,D )= Σ m (0 ,1 ,2 ,5 ,6 ,7 ,8 ,1 0 ,1 1 ,1 2 ,

= B D + A B C + A C D + A C D +

D B D

C D

A B 0 1 1 0

0 0 1 1

A B C

0 0 1

1 1

0 1 1 1 1

A C D

1 1 1 1

1 1

1 0 1

每次勾圈时，应包含尽量多的独立格。 C

A B

)

F 4(A ,B ,C ,D )= Σ m (0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,1

[ = B D + A B C + A C D + A C D + A B C ]

= B D + A B C + A B C + A C D + A C D

D A C D

C D

A B 0 1 1 0

0 0 1 1

B D

0 0 1

1 1

0 1 1 1 1

A B C

1 1 1 1

1 1

1 0 1

A C D

包 ,

应格

立余

唯

，独冗

时不

C D

A B 0 1

0 0 1 1 1 0

0 0 1

1 1

说明一：

0 1 1 1 1

B 每次勾圈

1 1 1 1

A 含尽量多的

1 1

1 0 1

以避免出现

D C

C D 项。

A B 0 1 1 1 1 0

0 0

0 0 1 说明二：

1 1

0 1 1 1 1 化简结果

1 1

1 1 1 一。

1 1 1

1 0

。 ;

会，

量）

项项

不态

变束

值小

辑状

最约

取

四、具有约束的逻辑函数的化简

约束：用来说明逻辑函数中，对各个逻取值所加的限制（定义域问题）。

例： n 个变量的 2 n种组合中有一些变量出现 (或不允许出现 )，这些状态对应的称为约束项（任意项、无关项、无所谓

在真值表和卡诺图中，用： × 或 Φ 表示

在逻辑式中 ,用 Σ d 来表示约束项之和。

(d o n ’t ca re)

：

取

D ,m

, 4

C 1

, 码 )

： m

D ,

B 编 3

, C 1

十进制数 8421 码

0 0000

1 0001

2 0010

3 0011

4 0100

5 0101

6 0110 例：四变量 ⇒ A

7 0111

二 ? 十进制

8 1000

9 1001 （ 8421 B

10 1010

11 1011 六个约束项

12 1100

m 10,m 11,m 12,m

13 1101

14 1110

15 1111

) )

4 1

1 9

1 ,

为 ,

8 ) 8

, ,

化 4

3 3

例题 :将下列具有约束项的逻辑函数

最简与或式。

F (A ,B ,C ,D ) = ∑ m (1,5 ,7 ,9 ,1 5 ) + ∑ d (

F (A ,B ,C ,D ) = ∑ m (2 ,5 ,6 ,7 ,1 0 ,1 2 ,1 3 ,1

+ ∑ d (0 ,1,

F (A ,B ,C ) = ∑ m (7 )+ ∑ d (1,2 ,3 ,5 )

处更

进得

项 ” 当

0 化

束时

利用约束项进行化简

解 :用卡诺图法时，可以利用约

行化简：逻辑函数的值可以当 “

理，也可以当 “ 1 ” 处理；必要

“ 1 ” 处理 ,这样可以使逻辑函数

简单（可以尽量勾大）。

)

1 D

, C

1 B

8 D

( B

F (A ,B ,C ,D ) = ∑ m (1,5 ,7 ,9 ,1 5 ) + ∑ d

低位 D

高位

C D

A B 0 1 1 1 1 0

0 0

A D 0 0

1 ×

0 1 1

1 1 1

1 0 ×

× 1

B D C

∴ F (A ,B ,C ,D ) = A D + C D +

) D

1 C

9 B

) ,

4 3

, C

F (A ,B ,C ,D ) = ∑ m (2 ,5 ,6 ,7 ,1 0 ,1 2 ,1 3 ,

+ ∑ d (0 ,1

C D

A B 0 1 1 1 1 0

0 0

A D

0 0 ×

× ×

0 1 1 1

1 1 1

1 1

× 1

1 0 ×

A C

∴ F (A ,B ,C ,D ) = C D + A D + A

) ×

高位低位

F (A ,B ,C ) = ∑ m (7 )+ ∑ d (1,2 ,3

B C

0 0 0 1 1 1 1 0

× ×

1 × 1

∴ F = C

。。

具图

工形

论波

小结：

•逻辑代数：数字电路分析和设计的理

一、逻辑函数的表示方法（五种）：

真值表，逻辑式，卡诺图，逻辑图，。

理

、定

二、逻辑代数：

1 .基本运算法则：结合律、交换律

分配律等；

2 .几种形式的吸收律；

3 .几个定理：德 • 摩根定理、反演；

简。

三、化简：两种方法

1 . 公式法 — 布尔代数；

2 . 图形法 — 卡诺图 (n ≤ 4 ) ：

三步：布阵、填项、勾圈化

具有约束的逻辑函数的化简

本站仅提供存储服务，所有内容均由用户发布，如发现有害或侵权内容，请点击举报。