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宗骞.让知识“结构化”生长——以小学数学《数的认识总复习》一课为例[J].基础教育课程,2023(04):36-43.
在教学中，教师应善于从结构的视角，引导学生用整体的、联系的、发展的眼光看问题。本文以苏教版小学数学六年级下册教材中《数的认识总复习》一课为例，从结构化的视角进行设计和教学，在磨课过程中反思总结出促进知识结构化生长的有效措施，即从“零散要素”走向“结构呈现”，从“静态呈现”走向“动态建构”，从“表层逻辑”走向“内在关联”，从“结构经验”走向“自主建构”。
《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）在教学建议部分指出：“在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。”在教材中，知识点之间是存在一定关联的，在课堂教学中，教师不仅应引导学生厘清数学知识，更重要的是提升学生的自主建构能力，即学生不仅要学会，更要会学。为此，教师应善于从“结构”的视角，引导学生用整体的、联系的、发展的眼光看问题。
笔者以苏教版小学数学六年级下册教材中《数的认识总复习》这一课为例，从结构化的视角进行设计和教学，意图在磨课过程中反思总结出促进知识结构化生长的有效措施。
一、从“零散要素”走向“结构呈现”
数学知识具有很强的内在逻辑，是整体的、系统的、结构的。但在数学学习的过程中，学生头脑中的知识很多时候是零散的，有时还存在层次不清、颠倒杂乱的情况。例如，在试上该课时，当教师提问“我们学习过哪些数？”时，多位学生回答：“整数、分数、小数、百分数、自然数、负数、奇数、偶数、质数、合数、倍数、因数、除数、被除数、未知数……”从课堂对话中，我们不难发现，学生希望尽可能地回答全面，把含有“数”这个字的名称一一罗列出来，将因数、倍数、除数、被除数等一些从运算角度对数进行的命名也纳入数的概念中，甚至还有人提及“未知数”。很显然，此时一些学生对数的概念的理解还不够清晰和深刻。那么，在学习这一课前，学生对小学阶段学过的数究竟有多少认识呢？为了解答这一问题，笔者将上述教学环节前置，以前测的方式开展，请另一个班的学生将小学阶段学过的数进行整理，做好下次试教的准备。教师收集学生的课前整理，结果主要分为两大类（图1、图2），一类以纯文本的方式呈现，另一类以图形的方式呈现。无论用哪种呈现方式，学生都只是罗列出有关“数”的名称和概念，对于概念之间的逻辑关系则很少提及。由此可见，此时学生对于“数”的概念的认识是零散的、无序的、浮于表面的，他们在回忆和梳理过程中暴露出的这一问题，为课堂教学提供了重要依据。
那么，怎样让学生对数有系统的认识呢？为了实现知识结构化，笔者对照简单的结构图（图3），对数的知识进行了个性化的补充，挖掘各个零散要素间的逻辑关系和内在关联，并用大括号和箭头连接，形成了数的关系结构图（图4）。如此，笔者通过对零散要素进行结构化呈现，使碎片化的知识成为整体，为学生知识结构的动态建构奠定了基础。
二、从“静态呈现”走向“动态建构”
在教学时，教师不应仅以静态的方式呈现知识结构化的结果，而应引导学生在共同整理的过程中经历知识结构图的动态建构，让学生在建构过程中运用自己独特的思维，领悟结构图中包含的深刻思维和丰富智慧。这样的建构不仅牢固有效，还能将知识建构过程内化为学生自主学习的智慧。
为实现知识的动态建构，笔者设计了以下两个教学活动。
【活动一】在阅读中分享，明晰“数”的产生
教师请学生在课前阅读数学史的有关材料，并在课上进行分享。学生在分享的过程中提及不同的数并进行了举例，根据学生的分享，教师适时在黑板上贴上板贴（图5）。
【活动二】在数轴中整理，感悟“数”的本质
这一活动有三个层次。
层次一：建立数轴标准，感受确定标准的重要性
教师提问：“你能将这些数（0，1，2，
层次二：寻找不同的数，体会不同数之间的联系
教师提出要求：“我们还可以快速确定哪些数的位置？一起完成学习单第1题（图6）。”并请一位学生到黑板上操作。
借助数轴可以将各个数的位置和大小清晰呈现出来，通过观察和操作，学生既明晰了整数、自然数和负数之间的逻辑关系（自然数是整数的一部分，整数包含正整数、负整数和零等），也在分一分、数一数、说一说的过程中，将自己的所思所悟以结构图的方式充分展现。
层次三：探讨等值的数，体验相等数之间的联系
新课标强调，在教学过程中，不仅要注重具体内容与核心素养之间的关联，还要注重内容主线与核心素养发展之间的关联。学生在找寻多个与
动态建构是个体认知的线索，指引着个体认知的路向和顺序。以上两个教学活动，使学生在材料阅读分享中看到了各类数的逐一呈现，体验了知识从碎片化走向整体的动态建构过程（图7）。由“静”至“动”的过程，既揭示了有关“数”的知识结构的逻辑和组成，又培养了学生数学建模的能力，使学生在今后的学习中能够更积极、主动地完成知识的系统建构。
三、从“表层逻辑”走向“内在关联”
在数学学习中，学生经常用总分、主次、并列、递进等关系来构建不同概念之间的逻辑关系，但这样的关系往往驻留在表层，即“表层逻辑”。表层逻辑只关注事物外在的现象，一般不需要深入事物内部进行思考和分析。本课时的数学知识都不是孤立的，它们有着出发点、生长点和延伸点，教师要引导学生透过现象看本质，探寻知识间的内在关联，从而了解事物的本质，达成知识的融会贯通。
试教片段一：
学生在数轴上依次标出0，1，2，
师：和大家解释一下，你是怎么想的？
生：我是将单位“1”平均分成5份，取其中的3份，所以
师：0.7和
生：把“1”平均分成10份，取其中的7份，这里是0.7，取其中的13份，这里就是
师：看似不同的自然数、分数、小数，它们有什么相同之处呢？
生：它们都是“数”。
生：它们都可以互相转化。
知识与知识之间存在着内在关联，当我们试图通过对比的方式引导学生进行观察发现时，学生往往只关注到表层逻辑关系，如：总分关系，即自然数、分数和小数都是“数”的一部分，它们都是“数”；并列关系，即自然数、分数和小数只是外在形式不同，它们之间都可以互相转化。要实现学生对知识的系统性理解，就不能只局限于这样的“表层逻辑”，更多时候，教师应该在课堂中增加一些视角，引导学生强化对“数” 本质的理解，在更深层面建构知识系统。如：自然数、分数和小数都有自身特有的计数单位，自然数的计数单位是1，它是由1累加而成，分数的计数单位是几分之一，它是由几分之一累加而成，小数的计数单位是0.1，0.01，0.001……它们都是相同计数单位的累加。用相同计数单位的累加来统摄“数”的计数方式，使零散的知识凝聚一起，这是一种更具统摄性和扩展性的数学思维，有了这种思维，课堂教学就有了长远眼光和穿透力。
为引发学生深度思考，笔者将试教片段一中的教学环节进行调整，并重新试教。
试教片段二：
师：同学们都找了这些数的位置，谁来说说自己的想法？
生：将单位“1”平均分成5份，其中的3份就应该在这里。（边指边说）
师：通过平均分，这里产生了一个新的标准，是多少？
生齐声：
师：他认为
生：
师：他数了几个
生齐声：3个。
师：他是
生：我认为还可以0.1，0.1地数。
师：来数给大家看一下，我们一起跟在你后面轻声数。（生齐声数数）
师：他看到的是
生：再往后数一格就能找到0.7的位置。
生：我们数的0.1就是
师：在分一分、数一数的过程中，你们有没有感觉到
生：是
师：那么其他数呢？
生：整数是由1累加而成，小数是由0.1累加而成。
师：有没有感觉到，整数、分数和小数有什么相同之处？
生：它们都是由相同的计数单位累加而成的。
通过以上试教片段的改进，我们可以发现，在实际教学时，学生往往缺乏关联的眼光和关系思维，这就需要教师在适当之时巧妙搭建“脚手架”，让学生的思维从“表层逻辑”走向“内在关联”。例如，先借助肢体动作结合言语表达，让学生分一分、数一数、说一说，增强学生的计数体验，再通过分层提问：①在分一分、数一数的过程中，有没有感觉到
四、从“结构经验”走向“自主建构”
经验是数学学习的动力和源泉，数学学习就是对学生经验的不断优化与重组。在教学中，教师既要引导学生经历知识结构的生成过程，让他们在此过程中感受知识的整体化、系统化和结构化，又要让这些“经历”沉淀为“经验”，促进学生经验的迁移，让学生能够积极地运用经验进行自主建构。
对于学生来说，经验心理模型犹如冰山，处于意识层面的只是露出水面的一小部分，绝大部分都位于前意识或潜意识之中，沉积在学生的心灵深处。在教学中，教师要善于激活内隐的经验，让学生运用经验去优化和完善自己的认知结构。本节课以数学史的相关材料为切入口，以数轴为主线，师生一起经历了知识整体建构的过程。在此过程中，学生不仅获取了知识，更重要的是他们在体验中获得了自主建构的经验。为了能了解学生的经验激活程度和学生运用经验进行自主建构的能力变化，笔者在原有教学设计基础上，增设了以下教学环节。
试教片段三：
课件出示课前部分学生整理的零散、不完整的作品。
师：在课前，同学们将认识的数进行了梳理。通过今天的学习，你对这样的整理又能提出怎样的建议呢？
生：可以多举一些例子。
师：还有吗？
生：可以写出它的性质。
师：是啊，再写得详细一点，把相关的性质也写进去。
生：也可以把它们相通的地方也整理出来。
师：真棒！你拥有关系思维和关联眼光。
生：还可以联系生活实际来举例。
师：嗯，举例也要有技巧。
生：可以写出它们的计数单位。
生：还可以把它们进行比较。
师：在比较时发现它们的相同之处。
生：可以用不同的笔把关键之处画出来。
师：圈画出你心目中的重点，真好！课后，同学们将课前的整理再一次进行梳理，看看你是否会有新的发现。
心理学家波斯纳认为，没有反思的经验是狭隘的经验，至多只能形成肤浅的认识。有效引导学生进行自我反思，有利于学生学习力的自主提升。在试教片段三中，教师组织学生针对前期整理提出合理化建议，在反思和分享的过程中，让学生围绕“举例”“相通”“相同”“圈画”等关键词进行描述。在这一过程中，学生原本零散的活动经验通过反思和交流，在其头脑中得以成型，并有效迁移到新的认知活动中去，既显化了学生的数学经验，让学生认知深处的经验从模糊变得清晰，以便学生更好地调用，也帮助学生完善了认知结构，促进学生思维能力的发展。
课后，学生对小学阶段认识的数再一次进行了整理，图8是部分学生课后整理的作品。
对照学生在课前与课后对“数”的整理，可以发现，学生在整理的形式、整理的内容和思考的方式上都有了明显的改变。在呈现形式上，学生摒弃了原先碎片化的分布形式，有意识地使用线条、箭头、圆圈、方框等符号将零散的要素进行结构化呈现；在整理内容上，学生已不局限于对“数”概念的整理，而是扩充为数的由来、数的举例、数的意义、数的性质特征、数的大小等更为丰富的内容，使自己对各类“数”有更加全面的认识和了解；在思考方式上，他们努力地探寻各个元素间的内在关联，如感受到小数是分数的一种变形的表达形式、努力构建正整数和负整数在计数方法上的异同点和共通之处等。
数学知识的整体建构不能仅停留在思维方式方法的简单使用上，而是要凸显出学生的自觉、自发和自为，培养学生自主建构的能力。当然，这样的佳境并非一朝一夕可以达成，学生在一节课中开辟的“结构化”视角只是一个美好的开始，教师还需要在未来的教学中帮助学生进一步积淀和生长。
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