史宁中教授这样描述数学学习的最终目标:会用数学眼光观察世界,会用数学思维思考世界,会用数学语言表达世界。个人认为,用除法解决问题这一节课,将抽象、推理与建模落到了实处。
本堂课,最大的特点是,从一般→特殊→一般,构建数学模型;重视数形结合与模型思想的渗透。从整堂课的构思上看,由旧知(一般的除法问题),引入新知(特殊的植树问题),再将三个类型归一,回到除法问题。以“用除法解决问题”这一上位概念为中心,将植树问题划归为比较特殊的除法问题,沟通新旧知识之间的联系,帮助学生建构知识概念体系。同时数形结合思想时时蕴伏于各个环节之中,模型思想则贯穿始终。
环节一:特殊又一般的“8÷2=4”
课堂伊始,马老师便出示了8÷2=4,展示学生课前编题的作品。“一个小队有8人,每2人一组,能分成几组?一支笔2元,孟小红带了8元,可以买几支笔?”简简单单的8÷2=4,被赋予不同的情境,在不同的情境中变得有血有肉、丰富饱满。在这里,是由抽象到具体的过程。数学虽然具有高度的抽象性,剥离了具体事物的特点,但它的抽象性也赋予它一般性,让它能够体现广泛的应用性。
在充分交流两个题目的前提下,马老师又提了一个关键性问题“讲的事情不一样,为什么都能用8÷2=4来解决?”这个问题,又聚焦于除法本身,从具体、特殊,又回归于抽象、一般。刚开始,孩子们的回答可能并不是那么切中要害,但渐渐地他们逐渐触摸到了最核心的东西,即数量关系。“都有8和2两个数字,都是要除的”;“可以用线段图理解”;“二四得八,两个都是2和8”;“两个题目中都提到总量是8,份数是4……(这位同学的归纳概括能力非常让人佩服,一眼就看出了问题的本质!!)”于是,马老师开始借助线段图,数形结合,引导学生发现这两个问题的共同点。在这里,也是一种模型思想的渗透,要解决8里面有几个2,就都可以用除法来解决。
马老师所举的两个例子都是“包含除”的关系,便于学生发现、归纳出二者的关系。个人觉得,是否应当有一个“等分除”的例子,这样就能够更加全面地概括除法的关系。已知两个因数的积是8,其中一个因数是2,求另一个因数,就可以用除法8÷2来运算。由于我对学情不是特别了解,不知道这样的问题对于学生而言是否会过于困难,仅仅有这样一种想法。
环节二:由旧知引出新知
在充分交流体会一般除法的基础上,老师又出示了两个题目“小朋友排成一条8米长的队伍,每隔2米站一人,共有几人?”、“一根木头长8米,每2米锯一段,要锯几次?”。这两个问题与前两个问题虽然看似相似,但在数量关系上却有很大的不同。马老师抛出问题:“这两个问题能用除法解决吗?那结果是不是4呢?”引导孩子们说说自己的想法。接着,通过画图(数形结合)、学生站队等方式进行验证。至此,植树问题的三种模型“两端都种商加1;只种一端商不变;两端都无商减1”,都已经展现在孩子们的眼前了。
“老师编的问题,和之前编的,有什么不同?”开始引导孩子关注到这三个问题的不同之处,开始逐步走向抽象。“前面两道题目都等于4,后面的一个等于3,一个等于5”;“前面两个是普通的除法,后面两个属于植树问题的除法(这个孩子已经知道它们植树问题这一模型了)”;“数字都一样,最后结果不一样”;“前面两题都是普通的,锯木头是少一个的,站队问题是多一个”。从孩子们的回答可以看出,大多数孩子都是从形式上来寻找这些题目的不同,也有个别孩子能够从数量关系、植树问题模型上来看。于是,老师再次利用数形结合帮助孩子们理解。孩子们便的题目求的都是线段图的段数,所以商就是结果;而老师编的题目,求的都是线段图的点。以线段图为桥梁,理解这三种模型之间的区别,着实巧妙!
环节三:充分体验,构建模型
老师出示真正的植树问题“在一条20米长的小路一边种树,每隔5米种一棵,共种几棵树?”让孩子们猜猜有几棵树,在纸上画出是怎么种的,并列出算式。有了植树问题三种模型的初步体会,孩子们的思路便打开来了。
(两头都种)
(只种一头)
(两头都不种)
在汇报的过程中,老师让孩子们说说,为什么这个位置(第一个)会不种?理论联系实际,每一种模型是“有道理”的,数学是有道理的!
有了从多个例子的充分的体会之后,马老师开始引导孩子们逐步抽象出三种模型——“两端都种商加1;只种一端商不变;两端都没有商减1”。
环节四:回归生活,区分植树问题的类型
正如史宁中教授所说,“数学模型是用数学的语言讲述现实世界的故事”。因此,不仅要建构模型,更要回归生活。马老师提出问题:“在生活中有没有这样的情况呢?你看到了什么?它属于哪种类型?”这个问题,指向对各种“植树问题”的类型判断,而这对孩子们来说也是比较困难的。孩子们不仅要思考、回忆生活中类似的问题,还要去判断每一个问题的类型,难度系数比较高。但恰恰是我认为非常困难的问题,孩子们的表现却异常优秀。公交车站点、建房子、剪纸、空调出风口叶子的数量……他们发散的思维令我惊叹!接着老师又举了一些例子,让学生判断类型。这一环节设计赋予抽象模型以血肉,回归于生活,也体现了生活之中处处有数学。
在课堂小结环节,老师提问:“还有什么问题可以进一步研究?”在封闭图形中有怎么样的规律、十字交叉的线路、不止一圈、间隔种……各种特殊的“植树问题”出现在了课堂中,也再一次惊艳了我。这堂课,让我真切的感受到,一位优秀教师是如何成就学生的!
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