小数学，大学问
一
向你介绍我是谁
大家好！我是张若静，来自瑞安市陶山镇碧山小学，是朱乐平名师工作站“一课研究”团队第4小组的学员，很高兴与您在一课研究的微信平台中相遇。
二
本期内容有哪些
1
听一听：高中数学教学中图式理论的运用
2
读一读：《倍增问题》教学设计
3
数学之美：神奇美丽的阿拉伯数字
三
轻轻松松听听书
（以上内容摘选自《数学教学通讯》2017年第11期（下旬），作者：高远；听书内容有所删节，更多内容，请参见杂志）
四
坚持阅读八分钟
教材分析
“倍增问题”即我们熟悉的“打电话”，是五年级下册的一节综合实践的内容。在四年级上册的“数学广角”中，教材安排了有关优化思想的学习，让学生尝试在解决问题的多种方案中寻找最优的方案，初步体会了运筹思想在实际生活中的应用，为“倍增问题”的教学打下了基础。
2
学情分析
基于学生的生活经验，打电话情境，学生会考虑现实操作的问题，如怎么知道谁被通知了，谁没有被通知？课堂上最优方案出来的也比较困难。基于这样的学情，就没有延用教材中的情境，换成学生生活中熟悉的游戏——触碰救人。
问题情境改了，课题就得随着改。“倍增问题”这一课题对学生来说更具数学味。两个课题给学生留下的课堂痕迹也不同，“打电话”给学生留下的是一个情境的内容，而“倍增问题”给学生留下的是一个数学模型。
3
教学目标和重难点
教学目标
1.从解决问题的多种方案中寻找到“触碰救人”的最优方案，发现事物隐含的规律，并抽象出模型；
2.经历针对具体问题设计方案解决问题的过程，通过画图的方式，体验推理、优化、模型等数学思想，进一步培养归纳推理和应用数学模型解决实际问题的能力；
3.体验数学与生活的密切联系，以及倍增模型在生活中的应用。
教学重难点
理解触碰救人的最优方案，并将方案图式化；发现事物隐含的规律和模型并应用；
4
教学过程
一、游戏激趣，导入新课
1.出示游戏：今天老师给大家带来一个游戏了，今天的学习就从老师编的数学游戏开始。（触碰救人）
2.讲解游戏：你们都是木头人，老师是自由人。如果老师碰一下某个同学，这个同学就被解救了，他也就成为了自由人。游戏有规则：一次只能解救一位同学。如果1秒钟解救1名同学，老师要尽快解救全班31名同学。你估计至少要多少秒能解救全班同学？
（学生会异口同声地回答31秒，板书：31秒）
3.猜游戏时间：我们规定:被解救的人，也可以去解救其它木头人。按这样的规则再去解救全班同学，你觉得要多少秒？（学生任意猜想，比较集中的答案是20秒、15秒、7秒）
4.化繁为简：要想解救全班31个同学，这个问题还是比较复杂的，因为人比较多，研究这样的问题，怎么入手研究会比较好一些呢？（化繁为简）
设计意图
利用学生熟悉的游戏情境，设定游戏规则，通过猜想，初步感知游戏中的数学味。碰到大数据想到化繁为简，引到小数据，激发学生寻求解决问题的策略。
二、自主探究，优化方案
1.设计方案：同样的游戏，老师先解救7名同学，那最少要多少秒呢？你能为这个问题设计一个方案吗？
反馈交流：
（1）反馈7秒或6秒或5秒或4秒，同时请设计的同学来摆一摆你是怎么设计的？学生作品如下：
（2）反馈3秒
3秒的方案很重要，所以边反馈边追问：这幅图中第2秒有几个人去救？第3秒有几个人去救？
2.对比优化：我们来对比一下两个方案，4秒（或其他几秒）的方案的时间为什么会多了，原因在哪里？（选两个方案对比）
3.提炼关键点：谁来说一说，想要设计的方案时间最短，最关键要注意什么？（学生基本都会想到“不空闲”、“不浪费”等，根据学生的回答板书）
设计意图
给学生充分的时间进行方案的设计，静下心来思考解决问题的策略。通过让学生上台摆一摆，清晰地展示解救7个人的全过程。在对比最优方案和不优方案的同时，提炼出关键点“每个自由人都不能空闲”。
三、理清方案，优化图式
1.理解2秒内的方案
刚刚通过大家的努力，我们知道了解救7个人的最优方案是3秒。现在，我们一起来理一理，刚才我们是怎么解救这7名同学的。谁来说，第1秒是怎么解救的？第2秒呢？ (结合课件:第几秒，解救了几个人？现在的自由人有几个？被解救的有几人？请学生按这样的句式说一说，看看是不是真得理解了。)
2.修改方案，画第3秒
按照这样的解救方案，第3秒，到底有几个人会去解救其他人呢？分别是谁？（按学生的回答先板出4条箭头线，然后拿出学习单修改方案，修改在第2题，同时画一画第3秒）
小结：在刚刚的解救游戏中，我们用这样整齐美观的符号图完美的展现了最大限度利用时间的策略，也帮助我们更好地理解了解救7个人至少要3秒。
设计意图
在理解第1秒、第2秒怎么解救的基础上，引导学生规范有序地思考作图，同时修改自己原先的方案，画一画第3秒。呈现3秒内有层次感的直观图，达到数形结合的效果。
3.思考第4秒
按照这样的策略，你觉得第4秒，到底能解救几个人呢？为什么是8个人？（根据学生的回答：前面有8个自由人，就可以解救8个人，课件随着出示箭头线。）
4.图式数据化
指着图式写出来，边板书边阐述：刚开始玩这个游戏的时候，自由人只有一个老师；第1秒，自由人就变成了2个人，被解救的人是1个人；第2秒……
设计意图
学习将直观图数据化，形成一条数据线，抽象出模型。因为有直观图做支撑，学生理解数据线上的每个数据都非常的轻松。
5.解救全班31人
解题：现在回到我们刚才的问题，运用这样的策略解救全班31个人，到底要多少秒呢？（学生延用数据线，很快能得到答案5秒）
延伸：那如果全班是20人要多少秒？18人？15人？那在哪一个范围之内的人数都是要5秒？（16～31之内，大于15，小于等于31）
设计意图
抽象出模型后，让学生初步运用模型来解题，同时让学生寻找5秒能解救的区间数，学会找落足点，确定起点和终点。
四、发现规律，应用规律
1.找规律
学生发现的规律：（1）自由人数都是2倍2倍的增加；（2）被解救的人数都比自由人数少1，少掉的人是老师；（3）还可以发现自由人数和秒数之间的关系：第N秒，自由人数等于N个2相乘的积。
2.倍增动图（应用规律）
课件演示方格图翻倍的现象：
揭示课题：这个翻倍的现象，其实就是我们数学里面要研究的“倍增问题”。（板书课题：倍增问题）
应用：现在请大家应用刚刚找到的规律，来求一求解救200个人，需要多少秒呢？
追问：思考一下，8秒能解救的人数范围是多少呢？为什么？
学生解题方式如下：
方式一：纯数据线
方式二：纯算式
方式三：数据线和算式相结合
设计意图
本环节，不仅让学生从从数据上感悟到翻倍的道理，还通过方格图的演示让学生感受到翻倍的视觉震撼。通过求解救200人需要多少秒的练习，思考8秒解救的区间数，让学生的思维迸发到了高潮。
3.生活中的倍增
故事：古时候，印度国王舍罕打算重赏国际象棋的发明人——宰相西萨。这位聪明的宰相说：请陛下在这张棋盘的第1个小格内，赏给我一粒米，在第2个小格内给两粒，在第3个小格内给4粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。到第64格时，国王到底要给他多少粒米呢？
小结：我们伟大的科学家——爱因斯坦，就把倍增问题叫做“世界第八大奇迹”。一个小小的1，经过不断不断地倍增，变成了大大的数据，这就是倍增神奇的力量。 生活当中还有其他的倍增现象，像：浮萍的生长、细胞的分裂。
设计意图
知道生活中很多领域都会运用到倍增的数学规律，体验倍增惊人的结果，震撼的同时感慨数学的神奇力量。
五、课堂总结，感知回顾
通过这节课触碰救人的游戏，你学到了什么？你有什么收获？
5
教学启示与思考
思考1
选“倍增问题”作为课题，是因为“打电话”这一课题所关注的只是如何解决打电话问题，而“倍增问题”所关注的是具有倍增模式的一系列问题。教材中的“打电话”情境，离学生的实践很远，学生又会考虑现实操作问题，最优方案很难出来，试教起来比较困难。“触碰救人”的游戏情境，既抓住学生的兴趣点，又能更好地激发学生去思考，学生最优方案出来的很轻松。
思考2
在之前的试教中，每每渗透表格就异常困难，所以就试着弱化表格，构造一个让学生掌握起来更方便更容易上手的模型。如下图的数据线模型：
这个线性模型对比表格的优势是：
首先，线性的结构更有利于学生内化模型；
其次，突出了主干上倍增的数据，使学生易于发现规律；
再次，应用起来容易上手，不会像表格那样繁杂，遇到类似的一系列问题都能用这个模型来解决。
思考3
除了学生设计的直观图、有序化的板书直观图，课中还运用了方格图来演示倍增的过程，给学生带来了强烈的视觉冲击，在学生脑海里留下了生动的、形象的数学模型。接着，让学生应用数据线模型解决解救200人的情况，就很娴熟了。
纯数据线、纯算式、数据线和算式相结合，这三种方式，表达不同，但思路是相似的，都共通着一样的解题思维——翻倍。有的学生很本分的从第1秒开始思考，有的学生比较机灵，借助前一秒的自由人数继续解题，都是值得嘉奖的，都将倍增模型运用地得心应手。
五
发现数学之美
阿拉伯数字每个数字都有奥妙，1有一个角，2有两个角，3有三个角……，9有九个角。以此类推，数字几就有几个角，0没有角。需要说明的是，符号的外角（大于180°），不计算在内。
可能大家会发现数字7怎么多了一横？是的，阿拉伯数字最初的时候7的腰上是有一横的，直到现在许多阿拉伯人写7还会习惯地加上一横。
END
图文编辑 | 张若静
你若盛开 蝴蝶自来
审核人：刘永军 孔慰
联系客服
