生本·序列·波澜：
小学数学教学设计的三种思路
文 / 许贻亮
教学设计是一个常谈常新的话题，也是一个既熟悉又较难以言说的话题。当前课程改革已进入深水区，跨学科视域的项目式学习、课后作业改革等成了当前阶段的热点话题，对教学设计的要求不是降低而是提高了。我们要把握时代发展的要求，不断地提升自己的教学设计思路与水平，精益求精，才能与时俱进。那么，我们在日常教学中要怎样汲取名师的备课经验，并在课堂中不断地自觉实践、自律探索呢？下面，我结合自己的实践经验，梳理三种常用设计思路，抛砖引玉，以期引发更多的讨论与争鸣。
一、从“逻辑”转向“生本”
教学设计的起点，首先是教材。“数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构”，是基于对认知规律、教材版本特色等的一种合乎常理的理性呈现，具有较高的内在逻辑性。但是，在深入解读教材时，我们应始终关注“人”，把实际学情、生活热点等纳入思考范畴。一方面，教材更新常落后于时代变化，当年的素材、情境等在时间更迭中难免缺失亲近感和吸引力；另一方面，学生的学习在时间更迭中虽仍呈现一般规律性，但在社会庞大信息量的耳濡目染中，其学习的“图谱”已日趋丰富，这也应引起我们的重视。只有始终关注“生本”，才能“让学习真实地发生”，在点燃学生学习热情的同时展开更有意义的教学之旅。
在“逻辑”与“生本”之间，大致存在着三种情况：①“逻辑”＝“生本”，即教材内容与学生的数学现实基本持平或相近；②“逻辑”<“生本”，即教材内容的层次低于学生的数学现实；③“逻辑”>“生本”，即教材内容的水平高于学生的数学现实。其中“逻辑”＝“生本”是最理想的，按教材编排的内容顺下来，教学目标便可水到渠成。但实际上，后两种情况更为常见。当“逻辑”<“生本”时，教学设计就要敢于向前迈一步，跨入学科间联通或数学知识内部联结，让学生既“吃得饱”又“吃得好”。如徐斌老师执教“平均数”时，不仅教学一组离散数据的两种统计方法，让学生理解平均数的意义，而且进一步把统计与概率、统计量与变化趋势等结合起来。当“逻辑”>“生本”时，教学设计则应该填补缺口，让学生可以借助“桥梁”“台阶”达成教学目标，避免先吃“夹生饭”再反复“炒冷饭”，这样既影响“口感”又难以“消化”。如徐斌老师执教“9加几”时，课伊始复习、梳理“10+几”，为本课“凑十法”的学习确立思路导向，夯实认知基础。
“逻辑”与“生本”的关系情况及教学设计思路，可以用图1表示：
日常教学中，对于常见的“逻辑”大于或小于“生本”情况，我简要列举两个课例加以说明。
其一，“逻辑”<“生本”。以北师大版五年级下册“长方体的认识”为例，教材呈现的前两个问题是：生活中哪些物体的形状是长方体？长方体有什么特点？其实，学生在一年级的初步认识、四年级图形分类的再次认识中就认识了长方体，在生活中也常有接触长方体物品，实际学情显然超过教材的逻辑起点。为此，教学的起点可向前跳，从选择小棒搭长方体开始。学生通过拼搭，建构长方体有12条棱、分为3组（长、宽、高）、每组4条棱长度相等，再向前跨入求长方体的棱长总和或由其棱长总和、长、宽倒推出高的长度等，使拼搭长方体的认知价值倍增。在此基础上，学生在定性观察和定量刻画中确定相对的面面积相等。化形为数、以数助形，使本课的整体认知迁移到整个教学单元。
其二，“逻辑”>“生本”。以北师大版五年级下册“分数乘法（三）”为例，教材编排的内容是《庄子·天下》原文“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，辅以长方形理解分数乘分数的算理及计算法则。与“分数乘法（二）”（整数乘分数）相比较，其算式意义虽仍是“求一个数的几分之几是多少”，但“一个整体”从“一个整数量”（6块饼干的1/2）变成“一个分数率”（纸条剩下1/2的1/2）。由“整数量”到“分数率”，这样的大跳跃，导致学生认知水平与教材内容间存在断层，显然教材的逻辑起点高于实际学情。这时，教师可在这两课时的衔接处填补“求一个分数量的几分之几”（如5/6千克的1/2）。这样使整数乘分数与分数乘分数的相关内容在递进发展中紧密相连，既填补了留白又融化了“认知冰点”。
由“逻辑”向“生本”转向，既需要敏锐的教学判断又需要到位的生活观察，既可通过学生的日常兴趣、课堂表达、学习效果来分析学情，又可辅以课前访谈、课后交流等，这样对学生的认知才能准确，设计的教学才能更好地为学生发展服务。
二、由“整合”理出“序列”
囿于篇幅的限制，教材需严格控制每一课时的码数和字数。有些素材在实际教学中是有先后顺序的，但是教材编排时常进行同类合并整合，静态的同步呈现却隐藏了动态的变化。“数学材料往往以简明的数学语言表述，推理的步骤之间会省略有关信息……就必须对这些压缩的材料恢复细节。”因此，教师要启动教材阅读的“选择性策略”，从“整合”的静态中梳理出有用的隐藏信息并连成动态的“序列”，使教学“从哪开始”，向“哪儿发展”，最终“到哪结束”，有清晰生动的路径。“序列”追求的是以“点”破“面”、以“点”带“面”、以“点”成“面”。
教学中的动态发展序列，常见的有4种类型，如图2。①并列式：多见于教学内容之间层次相近的迁移应用。如徐斌老师执教“鸡兔同笼”时，从“鸡与兔”到“自行车与三轮车”再到“2分与5分硬币”。②递进式：多见于教学内容之间有程度高低的认知理解。如苏明强老师执教“分数的初步认识”时提出：“0和1之间有数吗？”“0和1之间有什么数？”“你还想知道些什么？”这样不断地往深处、广处递进。③发散式：多见于教学内容具有多个侧面的学习，它聚焦于从“外部”寻找不同。如张齐华老师执教“负数”时，呈现了“-2可以表示什么”的问题，引出地下2层、欠钱2元、低于小组平均身高2厘米等。④聚合式：多见于教学内容之间具有共同本质的学习，它聚焦于“内部”发现相同。如华应龙老师在执教“分数的再认识”时，“先分一分，再数一数，就是分数”，把分数统一到“数，起源于数”的本质把握。
教学中，不同样式的“序列”常以组合的方式呈现。我们应以教学内容为“矢”、以教学目标为的”，合理设计且巧妙融合，有的放矢地规划教学路径，使学生拾级而上。
以北师大版五年级下册“长方体的表面积”为例，教材呈现的是标明数据的长方体平面展开图，通过列表求取3组相对的面的面积并相加来计算长方体的表面积。这样呈现，隐藏了从长方体到平面展开图的过程，隐藏了不同面与棱之间的关系，隐藏了空间想象能力及其分类、分组的思维方式等。结合教学内容和教学目标，我确立的教学序列为“递进式+并列式+发散式”，以活动1至活动3的递进为主，活动4再并列拓展与发散学习。
活动1：先出示两个面（如图3），问：往右再画两个面，你会怎么画？怎么想的？（应用展开与折叠的已有经验对平面展开图进行完善，如图4。）
活动2：再添加上下两个面，使之可折叠成长方体，你会选哪种图形？（发展推理能力和空间想象能力。）
A.边长5厘米的正方形
B.长5厘米、宽3厘米的长方形
C.边长3厘米的正方形
D.长7厘米、宽3厘米的长方形
根据学生的回答，教师可利用课件添加相应图形，让学生先展开想象再直观演示，最终确定答案，让学生再次感受到长、宽、高与各个面之间的联系。
活动3：求长方体6个面的面积之和，你会怎么算？（借助图形的直观，突出“对”与“组”的理解与建构，如图5。）
方法1：分为3“对”，上下面面积+前后面面积+左右面面积。
方法2：分为2“组”，（上面面积+前面面积+左面面积）×2。
活动4：会计算长方体的表面积有什么用？教师引导学生由此拓展到正方体表面积计算、无盖长方体鱼缸的表面积计算等。
从“整合”到“序列”的进发，教学便可以依序而行，循序渐进。“序列”清晰，则发展有迹可循。需要说明的是，“序列”不仅存在于一个课时内，对于整个教学单元来说，“序列”同样适用且重要。站在单元整体教学的角度，对课时教学进行再规划：调整次序、删减增补等，使之“序列”井然，可以提升单元的整体教学价值。当然，这样的尝试与实践对于教师日常教学设计的挑战更高，我们应当审慎而扎实地推进。
三、于“平常”添些“波澜”
此处所谓的“平常”，是指日常教学中教师依教材内容而教。其教学结构也基本合理，知识递进或认知结构发展也基本畅通，然顺当之中缺少一份生动、一份深刻、一份意想不到。文似看山不喜平，学生学习也是如此。没有学习过程的高峰体验，数学的深刻感悟便难以企及。让学习难点“多飞一会儿”，让体验风暴更强烈些，于“平常”的认知历程中投一些“石子”、设一些“堤坝”、加一些“悬疑”等，可以使学习过程产生“波澜”，让学习更有魅力，更能让人成长。
名师课堂与我们的日常教学相比，其“波澜”更多见且更独到，常有移步换景、一步一景的课堂景观。“波澜”的设计思路大致有3种：①倒置，从结论往数学本质追溯；②刨根，在认知盲区处不断追问；③反转，在习以为常处恍然大悟：“原来是这样啊！”
要让课堂有“波澜”，我们对于学习、课堂、所教内容应有“通透”的认知。这种教学，所倡导的是敢于放手（让学生独立思考、自主探索、充分交流），直面挑战（改变课堂常规的线性教学样态，锤炼教师的课堂调控力），推陈出新（增添课堂的期待感），使学习在一浪接一浪的“波澜”中有“思”的深入和“质”的突破。
以北师大版五年级下册“分数除法（二）”为例，教材内容安排一组递进式的教学问题（如图6），借助操作、数形结合得出计算法则“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。”
教材编排的内在逻辑是类比推理：从整数除法到分数除法，被除数不变，每一份越小，分得的份数越多。按教材展开教学是可行的，统一的教学情境使计算法则得以合情迁移，只是认知体验上较为“平常”。其一，过于简单，难以引发学生的深度参与；其二，过于单一，除数都是分子为1的分数；其三，过于单调，支持认知理解的手段只有圆片操作，没有联通更多的已有经验。其实，学生关于分数除法的认知储备是较为丰富的，教材内容编排属于“逻辑”<“生本”。为使学生对分数除法有更多的高峰体验，我拟定的设计思路是“倒置+反转”。
环节一：复习迁移。计算2/3÷4，复习“分数除以整数”的计算法则（出示：等于乘这个数的倒数），再推想分数除法的计算还可能有什么？（整数除以分数，分数除以分数。）原来的计算法则还能用吗？敢挑战吗？（把计算法则、分数除法的3种基本类型等呈现于课始，“倒置”课堂结构，点燃学生探究热情，并为分数除法计算法则的统一准备好认知素材与认知基础。）
环节二：尝试探究。独立探究4÷2/3，学习有困难的学生可以借助圆片或学习卡的提示进行学习（如图6）。（设计有一定难度的探究问题，促使学生充分联通已有的认知经验展开多向探究，在同化或顺应中理解算理、掌握算法。）
方法1：联通分数乘法的已有经验。因为6×2/3=4，所以4÷2/3=6。
方法2：分小圆片。学生在分一分、数一数中理解算式意义：4÷2/3就是求4里面有几个2/3。
方法3：迁移分数除以整数的经验。4÷2/3=4×3/2=6，再进行验证。
方法4：利用商不变规律。4÷2/3＝（4×3/2）÷（2/3×3/2）＝4×3/2＝6。教师可借助长方形面积模型理解算理（如图7），使分数除法4÷2/3与分数乘法建立本质联系，即转化为求4个3/2，即4×3/2。
最后，教师再引导学生对以上4种方法进行分析、优化，发现原有计算法则同样适用，完成二者统一。
环节三：自主迁移。教师出示（ ）÷2/3=（ ），让学生独立举分数除以分数的例子尝试解答，通过收集并有序地展示学生的作品，从被除数与除数的整数倍关系向非整数倍关系递进，既发展学生的学习力又达成计算法则的第三次统一。这时，教师可同时呈现整数除法、小数除法、分数除法的例子，追问：“什么不同？什么相同？”于此设置“反转”，让学生在习以为常的计算中惊喜发现“所有除法都可以用分数除法的计算法则计算”，进一步体会到数学知识间的联系与魅力。
环节四：应用迁移。4÷2/3可以解决下面的哪些问题？（把实际生活应用的解释“倒置”于后，以题组的形式呈现，让学生进一步认识分数除法的价值。）最后，我们可以通过一组计算题，强化分数除法的计算技能熟练度，提升学生的运算能力。
要设计好教学的“波澜”，需同时关注“情”与“知”两方面，找准角度、把握力度、设好广度，创设好的数学问题或数学情境，让学生常处于“愤悱”状态中。要做到这一点，教师需深入地梳理和把握学生的认知盲区，在“最近发展区”设问、设疑、设卡；需深入地考量教学的难度和认知的深度，让数学素养在“波澜”起伏中留深印迹。
思路决定出路，更影响教学品质。只要我们不断化名师备课经验为我所用，自觉实践、自律探索，课堂终会成为教师与学生共同成长的乐园。
(许贻亮，晋江市第二实验小学副校长，高级教师)
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