将一个圆形变成正方形，不是不可能

  剪纸的艺术  

无论是折纸（Origami）还是剪纸（Kirigami），都是我们熟悉的传统技艺。在科学领域，这两种历史悠久的艺术正在为科学家和工程师带来新的灵感。

剪纸可被视为折纸的一种变体，它在对纸张进行折叠的基础上，同时也进行剪裁切割。这种方法能将二维的纸张转变为复杂的三维结构。艺术家可以通过剪纸，详细、精致地重现存在于自然、建筑和其他更多场景中的结构。

在科学家和工程师眼中，剪纸可以用作他们设计机器人抓取器、可拉伸电子设备等可变形材料和装置的工具。只是在很大程度上，当要使用这种方法来制作产品时，都需要从零开始设计。因为一直以来，工程师都缺乏一种通用的方法，来确定从一种想要的形状转变为另一种想要的形状应采用的切割模式。

现在，一篇发表在《自然计算科学》上的新研究就提出了这样一种通用的计算策略，这种策略可以帮助研究人员确定切割的角度和长度，进而实现当将一张纸张拉开或推挤时，从一种想要的形状转变成另一种想要的形状。它适用于任何二维的、受剪纸启发的变换。

受剪纸艺术的启发，一组研究人员开发了一种计算策略，可以将几乎任何2D形状转换为任何其他2D形状。这种方法可被用于解决各种工程挑战，例如设计可以从一种形状转换成另一种形状以执行不同任务的机器人。（图/Levi Dudte et al. / MIT News）

  空白的空间  

研究人员发现，在剪纸和折纸中，存在很多数学联系。因此，他们想知道，是否可以用数学公式，来帮助人们设计出各种各样的图案。

2019年，为了能够找到将一种形状变成另一种形状所需的切割模式，他们为剪纸设计了一种优化方法。但这种方法的计算量太大，需要耗费大量时间才能推导出实现某种特定变化的最优模式。

2021年，当他们在折纸研究中思考类似的问题时发现，只要从一个稍微不同的视角，就能够得出一个更有效的策略。在那项研究中，他们没有选择对一个图案的单个折叠进行设计，而是选择专注于从一个简单的折叠“种子”中生长出一个图案。

他们一块板一块板地分析，并建立板与板之间的关系，比如当一块板被折叠时，与它相邻的板将如何移动。通过这种方法，他们推导出了一个相对有效的、可用于规划任何折纸结构设计的算法。这一成果让研究团队想知道，类似的方法是否适用于剪纸。

在剪纸中，一旦在一张纸上做了切割，那么这张纸就可以被部分折叠，如此产生的空白空间就形成了一个三维结构。那么，就像折纸中板与板的关系一样，剪纸中的切口之间的空白空间，以及它们彼此之间的关系，是否能产生一种更有效的设计剪纸的公式？

  数学的连接  

带着这个问题，他们展开了这项新的研究。这次，研究人员将重点放在了二维剪纸变换上。他们思考了一种通用的剪纸设计，这种设计涉及到一些由相互连接的四边形块状组成的马赛克。

每个四边形都被切割成不同的角度和大小。马赛克在一开始时是一个形状，然后它可以被拉开、重组，形成一种全新的形状。难点在于如何基于四边形之间的空白空间，描述马赛克从一种形状转变为另一种形状，以及空间如何随四边形被拉开和推挤到一起而变化。

他们首先考虑的是最简单的空白空间代表——菱形，他们将其称为“四杆连接”。菱形的每条边代表一条杆，每个角都代表一个连接。通过改变菱形的边长和角度，研究人员可以研究这两者之间的空间是如何变化的。

通过逐渐增大四杆连接的组合，他们确定了杆的角度和长度、单个空白空间的形状，以及整体组合的形状之间的关系，并最终将这些关系转化为一个通用公式。这个公式可以被有效地用于识别能将二维纸张从一种想要的形状转变为另一种形状的切割模式。

在模拟中，研究小组人员发现，利用这个公式，他们几乎可以将任何形状变成任何其他想要的形状，甚至是包括被认为不可能实现的正方形与圆形之间的变换。

利用这种方法，研究人员制作出了可以变成正方形的圆形马赛克。（图/Levi Dudte et al. / MIT News）

在更进一步的研究中，研究团队试图发展出可用于实现这种设计的物理制造方法。他们意识到，制作可变形马赛克的一个关键挑战是找到制作这些连接的合适材料：这些连接必须牢固，但又容易弯曲。

那没，什么东西可以既有着张力强、抗撕裂，但又可以拥有零弯曲半径的特性呢？

研究人员发现，答案是织物。通过使用3D打印和模型铸造这两种方法，他们将小的条状织物嵌入四边形的塑料块中，让这些四边形以一种紧密的方式连在一起，同时又能相互弯曲。

使用这两种方法，研究团队制作出了可以变成正方形的圆形马赛克，以及可以从简单的三角形变成复杂的心形的马赛克。

从心形转变成三角形。（图/Kaitlyn Becker/Gary Choi）

  从二维拓展到三维  

这种新的方法适用于任何二维的、受剪纸启发的变换。对于工程师来说，这将有助于他们解决各种设计问题，例如怎样的设计能让机器人从一种形状转变为另一种形状，进而使其可以执行某种特定任务或在特定空间中导航。

（图/Levi Dudte et al. / MIT News）

如果没有这样的工具，研究人员可能只能依靠“蛮力”在Matlab这样的软件中解决这类问题，又或者要通过猜测和检验的方式，但这些方法都要花费很长时间才能得到从圆形转换为正方形这样的成果。

而有了这个公式作为工具，研究人员基本上可以得到任何二维形状。接下来，他们希望将其扩展到3D剪纸上。

#创作团队：

撰文：J Chu

编译：小雨

排版：雯雯

#参考来源：

https://news.mit.edu/2023/kirigami-inspired-formula-shape-shifting-materials-0601

#图片来源：

封面图&首图：Levi Dudte et al. / MIT News