问题讨论●冲 量 方 向 剖 析
束义福(安徽省庐江第二中学 , 231500)
关于冲量的方向 ,一些教科书及资料中说“冲量方向就是力的方向”,“冲量方向由力的方向决定”.笔者认为 ,这种说法值得商榷 ,因为这样说过于笼统 ,且容易使学生产生误解 .一、关于冲量的定义讨论冲量方向应从冲量定义出发.冲量分两种情况.1.恒力的冲量: 当作用在物体上的外力 F是恒力时 ,其冲量等于恒力 F与恒力的作用时间 t的乘积 ,即 I= Ft. ①因恒力方向不变 ,冲量方向与恒力方向相同.2.变力的冲量: 当作用在物体上的外力 F是变力时 ,应将变力 F作用的时间 t 分成无限个极短的时间间隔 dt i ,在每个 dt i 内的外力 F i都可视为不变 .根据恒力冲量的定义 ,可得外力 Fi 在时间 dt i 内的微分冲量为dI= F i dt i .变力 F在作用时间 t= t 2 - t 1 内的冲量为 I=t 2t 1Fdt. ②这表明: 变力冲量的大小和方向由变力作用时间内所有微分冲量的矢量和决定.②式是普遍情况 ,①式是当 F为恒力的特殊情况.二、关于冲量方向的确定微分冲量 F i dt i 的方向可认为与这个时间间隔 dt i 内的力 F i 的方向相同 .如果外力 F是大小改变方向不变的变力 ,各微分冲量的方向都与外力 F的方向相同 ,因此它们的矢量和方向即外力的冲量方向 ,应与外力方向相同.如果外力是方向改变的变力 ,各微分冲量的方向并不相同 ,它们矢量和的方向即外力的冲量方向 ,不仅与力的大小和方向有关 ,而且与力的作用时间有关 .
问题讨论冲量方向剖析束义福安徽省庐江第二中学关于冲量的方向一些教科书及资料中说冲量方向就是力的方向冲量方向由力的方向决定笔者认为这种说法值得商榷因为这样说过于笼统且容易使学生产生误解一关于冲量的定义讨论冲量方向应从冲量定义出发冲量分两种情况恒力的冲量当作用在物体上的外力是恒力时其冲量等于恒力与恒力的作用时间的乘积即因恒力方向不变冲量方向与恒力方向相同变力的冲量当作用在物体上的外力是变力时应将变力作用的时间分成无限个极短的时间间隔在每个内的外力都可视为不变根据恒力冲量的定义可得外力在时间内的微分冲量为变力在作用时间内的冲量为这表明变力冲量的大小和方向由变力作用时间内所有微分冲量的矢量和决定式是普遍情况式是当为恒力的特殊情况二关于冲量方向的确定微分冲量的方向可认为与这个时间间隔内的力的方向相同如果外力是大小改变方向不变的变力各微分冲量的方向都与外力的方向相同因此它们的矢量和方向即外力的冲量方向应与外力方向相同如果外力是方向改变的变力各微分冲量的方向并不相同它们矢量和的方向即外力的冲量方向不仅与力的大小和方向有关而且与力的作用时间有关
例如 ,质量为 m 的物体 ,停在水平面上某点 ,在时间 t 1 内 ,受到大小为 F 1 、方向沿正北的外力作用 ,接着又在时间 t 2 内 ,受到大小为 F 2 、方向沿正东的外力作用 ,则在时间 t1和 t2 内外力的冲量的大小 (如图 1,建立坐标 )为· 10 · I= ( F 1 t 1 )2 + ( F 2 t 2)2,外力的冲量方向可由它与 y轴的夹角 θ决定:θ= tg- 1 F 2 t 2F 1 t 1 .图 1这是 变力方向改变时 ,确定冲量方向的最简单例子.如果 外力方向连续变化 ,则直接求微分冲量的矢量和往往很困难 ,即使将各个微分冲量投影到直角坐标轴上 ,把矢量的叠加变成代数运算 ,也还相当麻烦.在这种情况下 ,如果根据力的时间积累效应 ,即冲量的效应来确定冲量方向 ,就要简单得多 .牛顿本人对牛顿第二定律提出的形式是F=d(mv )dt=dpdt.可知力在极短时间内的微分冲量为Fdt= dp.力在时间 t= t 2 - t 1 内的冲量为I=t 2t 1Fdt=p 2p 1dp= p2- p1 .上式表明: 物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量 .冲量是过程量 ,而动量的增量是过程始末两时刻动量的矢量差 ,因此可以用动量的增量来确定冲量的大小和方向 .
例如质量为的物体停在水平面上某点在时间内受到大小为方向沿正北的外力作用接着又在时间内受到大小为方向沿正东的外力作用则在时间和内外力的冲量的大小如图建立坐标为外力的冲量方向可由它与轴的夹角决定图这是变力方向改变时确定冲量方向的最简单例子如果外力方向连续变化则直接求微分冲量的矢量和往往很困难即使将各个微分冲量投影到直角坐标轴上把矢量的叠加变成代数运算也还相当麻烦在这种情况下如果根据力的时间积累效应即冲量的效应来确定冲量方向就要简单得多牛顿本人对牛顿第二定律提出的形式是可知力在极短时间内的微分冲量为力在时间内的冲量为上式表明物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量冲量是过程量而动量的增量是过程始末两时刻动量的矢量差因此可以用动量的增量来确定冲量的大小和方向
例题 长为 L 的绳子一端系一质量为 m的小球 ,另一端固定 ,使小球在竖直面内做圆周运动 ,小球在最高点 A时的速度为 v A ,方向水平向右.求经过14 、12 圆弧过程中合外力的冲量.解析 小球受到重力和绳子的拉力作用 ,显然这里合外力是大小和方向都随时间不断发生改变的变力 .设小球经过14 、12 圆弧到达B、C点的速度为 v B 、v C ,如图 2a所示 .根据动量定理 ,小球经过14 圆弧的时间内合外力的冲量如图 2b所示 ,其大小为I 1 = (mv A )2 + (mvB )2,设冲量的方向由 θ角决定 ,可得θ= tg- 1 mv Bmv A.图 2如图 2c所示 ,取水平向右方向为正方向 ,小球经12 圆弧时间内合外力的冲量为I 2 = - mv C - mv A ,负号表示该冲量方向水平向左.至于 vB和 vC 的大小 ,由机械能守恒定律易得出v B = v A2 + 2gL; v C =v A2 + 4gL .由以上讨论可见 ,冲量的方向不能笼统地说是力的方向.
例题长为的绳子一端系一质量为的小球另一端固定使小球在竖直面内做圆周运动小球在最高点时的速度为方向水平向右求经过圆弧过程中合外力的冲量解析小球受到重力和绳子的拉力作用显然这里合外力是大小和方向都随时间不断发生改变的变力设小球经过圆弧到达点的速度为如图所示根据动量定理小球经过圆弧的时间内合外力的冲量如图所示其大小为设冲量的方向由角决定可得图如图所示取水平向右方向为正方向小球经圆弧时间内合外力的冲量为负号表示该冲量方向水平向左至于和的大小由机械能守恒定律易得出由以上讨论可见冲量的方向不能笼统地说是力的方向
一般情况下 ,冲量矢量是在作用时间内矢量对这段时间的积分而不是简单的力和力作用时间的乘积.如果在作用时间内力的方向不断变化 ,冲量的方向可能跟任何时刻力的方向都不相同 ,就不能取决于某一瞬时的外力方向 ,而取决于物体动量增量的方向.至于冲量的量值 ,尽管外力在运动中随时改变 ,物体速度也逐点不同 ,冲量大小却完全决定于物体始末两状态动量矢量差的绝对值 ,而与运动过程中物体在各点的动量无关.只有在作用时间内力的方向不变时 ,冲量的方向就是力的方向.因此 ,某些教科书及资料中关于冲量的方向“就是力的方向” ,“由力的方向决定”的说法仅适用于方向不变的力的情况 ,而不适用于方向改变的力的情况.
一般情况下冲量矢量是在作用时间内矢量对这段时间的积分而不是简单的力和力作用时间的乘积如果在作用时间内力的方向不断变化冲量的方向可能跟任何时刻力的方向都不相同就不能取决于某一瞬时的外力方向而取决于物体动量增量的方向至于冲量的量值尽管外力在运动中随时改变物体速度也逐点不同冲量大小却完全决定于物体始末两状态动量矢量差的绝对值而与运动过程中物体在各点的动量无关只有在作用时间内力的方向不变时冲量的方向就是力的方向因此某些教科书及资料中关于冲量的方向就是力的方向由力的方向决定的说法仅适用于方向不变的力的情况而不适用于方向改变的力的情况
综上所述 ,笔者认为: “冲量的方向就是动量增量的方向”这一论述应该着重强调 ,并使学生理解和掌握 .不论是恒力的冲量 ,还是变力的冲量 ,其方向及大小都可由动量的增量来确定.如果是恒力 ,就可用力的方向确定冲量的方向 ,这样确定冲量方向简便;如果是变力 ,冲量的方向则由动量增量的方向来确定 .这样讲学生易于接受和理解 ,也便于运用
11 ·Vol. 26 No. 11Nov. 1997
●问题讨论●冲 量 方 向 剖 析
束义福(安徽省庐江第二中学 , 231500)
综上所述笔者认为冲量的方向就是动量增量的方向这一论述应该着重强调并使学生理解和掌握不论是恒力的冲量还是变力的冲量其方向及大小都可由动量的增量来确定如果是恒力就可用力的方向确定冲量的方向这样确定冲量方向简便如果是变力冲量的方向则由动量增量的方向来确定这样讲学生易于接受和理解也便于运用问题讨论冲量方向剖析束义福安徽省庐江第二中学
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