布尔代数与逻辑函数化简

这一章主要是讲布尔代数和逻辑函数化简。在布尔代数中是把逻辑矛盾的一方假定为"0",另一方假定为"1"这样就把逻辑问题数字化了。逻辑函数的化简也就是运用布尔代数的性质来进行化简。这一章是这门课程的重点，我们一点要掌握好！

3、1布尔代数的基本公式和规则

一：布尔代数的基本公式

下面我们用表格来列出它的基本公式:

公式名称	公式
1、0-1律	A*0=0	A+1=1
2、自等律	A*1=A	A+0=A
3、等幂律	A*A=A	A+A=A
4、互补律	A*A=0	A+A=1
5、交换律	A*B=B*A	A+B=B+A
6、结合律	A*（B*C）=（A*B）*C	A+（B+C）=（A+B）+C
7、分配律

A（B+C）=AB+AC

A+BC=（A+B）（A+C） 8、吸收律1 （A+B）（A+B）=A AB+AB=A 9、吸收律2 A（A+B）=A A+AB=A 10、吸收律3 A（A+B）=AB A+AB=A+B 11、多余项定律 （A+B）（A+C）（B+C）
=（A+B）（A+C） AB+AC+BC=AB+AC

12、否否律

（

）=A

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13、求反律

AB=A+B

A+B=A*B

下面我们来证明其中的两条定律：
（1）证明：吸收律1第二式AB+AB=A
左式=AB+AB=A（B+B）=A=右式  （因为B+B=1）
（2）证明：多余项定律AB+AC+BC=AB+AC
左式=AB+AC+BC=AB+AC+BC（A+A)
=AB+AC+ABC+ABC
=AB（1+C）+AC（1+B）
=AB+AC=右式            证毕

  注意：求反律又称为摩根定律，它在逻辑代数中十分重要的。

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  二：布尔代数的基本规则

代入法则   它可描述为逻辑代数式中的任何变量A，都可用另一个函数Z代替，等式仍然成立。

对偶法则   它可描述为对任何一个逻辑表达式F，如果将其中的“+”换成“*”，“*”换成“+”“1”换成“0”，“0”换成“1”，仍保持原来的逻辑优先级，则可得到原函数F的对偶式G，而且F与G互为对偶式。我们可以看出基本公式是成对出现的，二都互为对偶式。

反演法则    有原函数求反函数就称为反演（利用摩根定律），
我们可以把反演法则这样描述：将原函数F中的“*”换成“+”，“+”换成“*”，“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量，长非号即两个或两个以上变量的非号不变，就得到原函数的反函数。

3、2 逻辑函数的代数法化简

 

我们先来了解一个概念，什麽是逻辑电路图？逻辑电路图就是用逻辑门组成的电路图。

一：逻辑函数化简的基本原则
逻辑函数化简，没有严格的原则，它一般是依以下几个方面进行 ：
逻辑电路所用的门最少； 各个门的输入端要少； 逻辑电路所用的级数要少； 逻辑电路要能可靠的工作。
这几条常常是互相矛盾的，化简要根据实际情况来进行。下面我们来用例题说明一下：
例1：化简函数F=AB+CD+AB+CD，并用基本逻辑门实现。
（1）先化简逻辑函数 F=AB+CD+AB+CD=A（B+B）+D（C+C）=A+D
（2）用逻辑门实现：（由化简来看只需一个与门）

二：逻辑函数的形式和逻辑变换

    逻辑函数的形式很多，一个逻辑问题可以用多种形式的逻辑函数来描述。

 逻辑函数的表达式可分为五种：
1."与或"表达式2."或与"表达式3."与非"表达式4."或非"表达式5."与或非"表达式。这几种表达式之间可以互相转换，应根据要求把逻辑函数化简成我们所需要的形式。

3、3卡诺图化简

一： 在学习之前我们先来了解几个概念
（1）逻辑相邻项：它可描述为在两个与或逻辑中，除某个因子互为非外，其余的因子都相同。

（2）逻辑最小项：它可描述为在给定变量数目的逻辑函数中，所有变量参加相与的项。在某一个最小项中每个变量只能以原变量或反变量的形式出现一次。
逻辑最小项的性质是：

全部最小项之和为“1”；

两个不同的最小项之积为“0”；

n变量有2ⁿ项最小项。

 （3）最小项标准式：全是最小项组成的“与或”式。

 二：卡诺图化简的基本原理
凡两个逻辑相邻项，可合并为一项，其合并的逻辑函数是保留相同的，消去相异的变量。

三：卡诺图的结构
每一个最小项用一个方格表示，逻辑相邻的项几何位置上也相邻，卡诺图每方格取值按循环码排列

四：卡诺图的表示法

先将逻辑函数式化为最小项表达式，再填写卡诺图。

用真值表填写对应的卡诺图方格。

直接填写（横纵保留相同的因子）

五：卡诺图中的最小项的合并规律
合并规律：
2¹个相邻项合并时消去一个相同的变量，2²个相邻的项合并时消去两个相同的变量，以此类推，2ⁿ
个相邻的项合并时消去n个相同的变量。
相邻项的性质是（1）具有公共边（2）对折重合（3）循环相邻

六:"与或"逻辑化简
例：化简F=BCD+BC+ADC+ABC+ABC（用图形法）

（1）用卡诺图表示逻辑函数：（如下图）
（2）画卡诺圈圈住全部“1”的方格（规则是：圈尽可能大；允许重复，但要新；孤立的“1”独圈。）（3）组成新函数是F=BC+AC+ADB
（4）画出逻辑电路：（如右下图所示）