2016年06月18日 ?
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注：本文是从贝叶斯分类器的角度来讨论判别分析，有关贝叶斯分类器的概念可参考文末延伸阅读第1-2篇文章。至于Fisher判别分析，未来会连同PCA一同讨论。
判别分析也是一种分类器，与逻辑回归相比，它具有以下优势：
当类别的区分度高的时候，逻辑回归的参数估计不够稳定，它点在线性判别分析中是不存在的；
如果样本量n比较小，而且在每一类响应变量中预测变量X近似服从正态分布，那么线性判别分析比逻辑回归更稳定；
多于两类的分类问题时，线性判别分析更普遍。
贝叶斯分类器
贝叶斯分类的基本思想是：对于多分类（大于等于2类）的问题，计算在已知条件下各类别的条件概率，取条件概率最大的那一类作为分类结果。用公式描述如下：
其中，
是第k类的先验概率，
是第k类的概率密度（当然如果是离散型变量就是条件概率，本文考虑连续型变量）。这个公式就是贝叶斯定理。
线性判别分析（Linear Discriminant Analysis, LDA）
1、 一元线性判别分析
假设特征变量满足正态分布，即：
线性判别分析有一个重要假设：假设所有K类的划分方差相同，即
=
=……=
。根据贝叶斯定理有：
对分子取对数转换，可见
最大等价于下式最大：
（这里十分诚意地附上推导过程，没兴趣的可以直接跳过：）
所以只要找到令上式最大的k值即可。从上式可看出，一共有
、
、
这三种参数需要估计拟合。先验概率
可以根据业务知识进行预先估计，如果不行也可以直接以样本中第k类的样本在所有类的总样本中的比例当作先验概率，即
至于期望和方差，直接根据各类的观测值计算即可：
从上上式（我就不编号）可看出，
是
的线性函数，这也是LDA名为“线性”的原因。
2、多元线性判别分析
多元LDA由于涉及到多个特征变量，因此用协方差矩阵来代替一维方差（协方差矩阵的概念可参考延伸阅读文献3）。这里直接给结论，线性模型就变成：
除了方差变成协方差矩阵，
和
也变成了向量。注意这里的
还是一次，仍然是线性模型。
二次判别分析（Quadratic Discriminant Analysis, QDA）
在LDA中假设所有的K类方差（或协方差矩阵）都相同，但这个假设有些严苛，如果放宽这个假设，允许每一类的观测都各自服从一个正态分布，协方差矩阵可以不同，LDA就变成了QDA。这里依然直接给公式：
可见
是
的二次函数，故名“二次判别分析”。
QDA与LDA的关系类似于多项式回归与线性回归的关系，本质上仍是偏差和方差的权衡，这也是Machine Learning领域的一个核心问题。QDA比LDA光滑，偏差更小，但方差更大。那么它们的适用条件呢？
一般而言，如果训练观测数据量相对较少，LDA是一个比QDA更好的决策，降低模型的方差很有必要。相反地，如果训练集非常大，则更倾向于使用QDA，这时分类器的方差不再是一个主要关心的问题，或者说K类的协方差矩阵相同的假设是站不住脚的。
实战：用LDA(QDA)再次预测股票涨跌
这里为了方(tou)便(lan)，依然使用延伸阅读文献4里的数据集，即ISLR包里的Smarket数据集。用不同方法做同样的事，其实也方便将不同方法进行对比。
> library(ISLR)
> library(MASS)
> attach(Smarket)
> lda.fit=lda(Direction~Lag1+Lag2,data=Smarket, subset=Year<2005)
> lda.fit
Call:
lda(Direction ~ Lag1 + Lag2, data = Smarket, subset = Year <
2005)
Prior probabilities of groups:
Down Up
0.491984 0.508016
Group means:
Lag1 Lag2
Down 0.04279022 0.03389409
Up -0.03954635 -0.03132544
Coefficients of linear discriminants:
LD1
Lag1 -0.6420190
Lag2 -0.5135293
Prior probabilities of groups是先验概率，实际上就是各类别在训练集中的比例：
> table(Smarket[Year<2005,9])/nrow(Smarket[Year<2005,])
Down Up
0.491984 0.508016
Group means是对每类每个变量计算平均，用来估计参数
。通过Group means矩阵可看出：当股票下跌时，前两天的投资回报率会趋向于正；当股票上涨时，前两天的投资回报率会趋向于负。Coefficients of linear discriminants则是线性模型的系数，说明当
很大时，LDA分类器预测上涨；
很小时，LDA分类器预测下跌。
> plot(lda.fit)
上面的图是对LDA模型的可视化，实际上它是训练集的
分别在Down类和Up类的直方图。下面验证比较一下：
library(dplyr)
Lag1_1 <- Smarket %>% filter(Year<"2005", Direction=="Down") %>% select(Lag1)
Lag2_1 <- Smarket %>% filter(Year<"2005", Direction=="Down") %>% select(Lag2)
Lag1_2 <- Smarket %>% filter(Year<"2005", Direction=="Up") %>% select(Lag1)
Lag2_2 <- Smarket %>% filter(Year<"2005", Direction=="Up") %>% select(Lag2)
lm_1 <- (-0.6420190*Lag1_1-0.5135293*Lag2_1)[,1]
lm_2 <- (-0.6420190*Lag1_2-0.5135293*Lag2_2)[,1]
par(mfrow=c(2,1))
hist(lm_1,breaks=16,freq = F,col="lightblue")
hist(lm_2,breaks=16,freq = F,col="lightblue")
可见直方图形状完全一致。
以上在训练集中对LDA模型的训练过程。下面在测试集中验证LDA模型。
> Smarket.2005=subset(Smarket,Year==2005)
> lda.pred=predict(lda.fit,Smarket.2005)
> class(lda.pred)
[1] "list"
> names(lda.pred)
[1] "class" "posterior" "x"
> data.frame(lda.pred)[1:5,]
class posterior.Down posterior.Up LD1
999 Up 0.4901792 0.5098208 0.08293096
1000 Up 0.4792185 0.5207815 0.59114102
1001 Up 0.4668185 0.5331815 1.16723063
1002 Up 0.4740011 0.5259989 0.83335022
1003 Up 0.4927877 0.5072123 -0.03792892
> table(lda.predclass,Smarket.2005Direction)
Down Up
Down 35 35
Up 76 106
> mean(lda.predclass==Smarket.2005Direction)
[1] 0.5595238
比较一下上一篇逻辑回归（延伸阅读文献4）中的结果：
> glm.fit=glm(Direction~Lag1+Lag2,data=Smarket,family=binomial, subset=train)
> glm.probs=predict(glm.fit,newdata=Smarket[!train,],type="response")
> glm.pred=ifelse(glm.probs >0.5,"Up","Down")
> table(glm.pred,Direction.2005)
Direction.2005
glm.pred Down Up
Down 35 35
Up 76 106
> mean(glm.pred==Direction.2005)
[1] 0.5595238
LDA的结果与逻辑回归完全一致！以一个数据分析狮敏锐的第六感，我们可以大胆猜测：LDA与逻辑回归这两种算法可能有某种内在联系!
这里不做严谨的推导（深层的推导可参考延伸阅读文献6），只作一个简单的验证比较。为了简单起见，只考虑二分类问题，多分类问题可同理类推。
log(\frac{p_1(x)}{1-p_1(x)})=log(\frac{p_1(x)}{p_2(x)})=log(p_1(x))-log(p_2(x))=x*\frac{\mu_1-\mu_2}{\sigma^2}-\frac{\mu_1^2-\mu_2^2}{2\sigma^2}+log(\frac{\pi_1}{\pi_2})
可见这仍是关于x的线性函数，与逻辑回归形式一致！虽然形式一致，但逻辑回归的参数是通过极大似然法估计出来的，LDA的参数是概率密度函数计算出来的。
由于LDA与逻辑回归形只是拟合过程不同，因此二者所得的结果应该是接近的。事实上，这一情况经常发生，但并非必然。LDA假设观测服从每一类的协方差矩阵都相同的正态分布，当这一假设近似成立时，LDA效果比逻辑回归好；相反，若这个假设不成立，则逻辑回归效果比LDA好。
下面练习QDA：
> qda.fit=qda(Direction~Lag1+Lag2,data=Smarket,subset=train)
> qda.fit
Call:
qda(Direction ~ Lag1 + Lag2, data = Smarket, subset = train)
Prior probabilities of groups:
Down Up
0.491984 0.508016
Group means:
Lag1 Lag2
Down 0.04279022 0.03389409
Up -0.03954635 -0.03132544
> qda.class=predict(qda.fit,Smarket.2005)class
> table(qda.class,Direction.2005)
Direction.2005
qda.class Down Up
Down 30 20
Up 81 121
> mean(qda.class==Direction.2005)
[1] 0.5992063
可见QDA的准确率稍高于LDA。
参考文献
Gareth James et al. An Introduction to Statistical Learning.
