数学曲线的种类(图)

星形线

心脏线

Apollonius圆:

悬链线

 

克莱线：

 
蜗牛线：

 
蔓叶线：

 
曳物线：

 

摆线【cycloid】
    一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹。又称旋轮线。圆上定点的初始位置为坐标原点，定直线为x轴。当圆滚动j 角以后，圆上定点从 O 点位置到达P点位置。当圆滚动一周，即 j从O变动2π时，动圆上定点描画出摆线的第一拱（图1）。 再向前滚动一周， 动圆上定点描画出第二拱，继续滚动，可得第三拱，第四拱……，所有这些拱的形状都是完全相同的 ，每一拱的拱高为2a（即圆的直径），拱宽为2πa（即圆的周长）。摆线有一个重要性质，即当一物体仅凭重力从A点滑落到不在它正下方的B点时，若沿着A，B间的摆线，滑落所需时间最短（图2），因此摆线又称最速降曲线。

 

外摆线：

 
蚌线：

极坐标方程

ρ = a ± b secθ

• O为极点；
• O到l的离差的方向为极轴
• a、b为实数
• -π / 2 ≤ θ ≤ π / 2时，
  • ρ = a + b secθ表示曲线的外支；
  • ρ = a –b secθ表示曲线的内支。

 

8字型线

蝴蝶曲线：球坐标，方程：rho = 8 * t ，theta = 360 * t * 4 ，phi = -360 * t * 8 

三尖瓣线 :

Devils曲线 ：

双叶线：

 
对数螺线：

 
费马螺线：

球面螺旋线：采用球坐标系，方程：rho=4 ，theta=t*180 ，phi=t*360*20

弯曲螺线
阿基米德螺线 ：

连锁螺线 ：

Cornu 螺线(羊角螺线)：

Lituus 螺线 :

长短幅圆内旋轮线

长短幅圆外旋轮线

叶形线：

笛卡儿叶形线：

 
肾脏线 ：

肾形线：

 
圆渐开线 ：

杖头线：

双扭线（伯努利双扭线） ：我们知道，若在平面上给定两点，则到该两点距离和为定值的点集构成一个椭圆，那我们自然感兴趣到该两点距离积为定值的点集是个什么形状，这就是 Cassinian Curves；倘若设这两点间距离为L，则当距离积的定值为(L^2)/4 时这个Cassinian Curve自交于给定两点的中点，这时的曲线就称为双扭线（lemniscate）。

双扭线有许多有趣的性质，现在首先让我们写出它的方程：|(z-a)(z-b)|=[(a-b)/2]^2；显然，一般Cassinian Curve的轨迹方程为|(z-a)(z-b)|=r。注意到，该方程左式绝对值中为一个复数的二次式，而r为一个固定常数，这容易让人想到圆方程|p|=r，没错！循此思路简单验证可发现二次函数 f(z)=(z-a)(z-b)将每一个以a,b为焦点的Cassinian Curve映为一个圆心在原点的圆；实际上，对于不以a，b为焦点的Cassinian Curve，f也将其映为一个圆，但此时圆心不在原点，容易证明，f总将共焦点的Cassinian Curve映为同心圆。

利用二次函数，可以证明，双扭线自交角为直角；顺带的可以证明，二次函数实际是将双扭线的一支映为圆的。

 
利萨茹曲线：

帕斯卡尔蚶线(limacon of Pascal)：其极坐标方程式为 r = a cos + k

k為常數，見圖，從左至右分別表k = 1.5a，k = a，k = 0.5a，

其中当k=a時，称为心脏线 (cardioid)

   环索线（strophoid）：

卡西尼卵形线（Cassini’s oval）：方程式為 

为常数

k=a时，如图：

 
箕舌线：

 

玫瑰线：（四页玫瑰线）

 

螺旋线：笛卡儿坐标 ，方程：x = 4 * cos ( t *(5*360)) ，y = 4 * sin ( t *(5*360)) ，z = 10*t

 

双曲螺旋线：

圆锥曲线
圆
椭圆
双曲线
抛物线
三次曲线
四次曲线
半立方抛物线
梨形四次曲线


平稳曲线
Rhodonea曲线：

追踪曲线
正环索线
Talbot曲线 ：卡笛尔坐标

theta=t*360
a=1.1
b=0.666
c=sin(theta)
f=1
x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/a
y = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b

柱坐标螺旋曲线：

蛇状线:：

 
瓦特曲线 ：

三等分角线
三叶线
牛顿三叉曲线
魔线 ：

K曲线
L曲线