学会学习：仰仗于经验的形成、验证与发展
——对话自主学习能力的课堂形成
刘建宇 徐铎厚
自主学习既是一种理念，也是一种策略，更是学生学习生活中的常态。很多教师日常教学中遵从的“先学后教”、“以学定教”等原则，都说明自主学习的重要。山东临沂第二十中学的刘建宇，从20世纪90年代就开始探索学生自主学习策略，在让学生借助于自主学习不断获得更好发展的同时，也对自主学习有了很多独到的认识。
刘建宇：学生学习从总体上说是为自己的发展奠定基础，而学生发展能力的形成则是一个循环往复、螺旋上升的过程。在这一过程中，既有当下学习能力的健康发展问题，也有离开学校后在社会上的生活工作能力的可持续发展问题。虽然在人的发展过程中，现在的学习与日后的工作是人生的两个阶段，侧重点不同，但我始终认为，从个人能力的形成角度讲，这两个阶段的是密不可分的，而把它们统摄到一起的就是个人经验的形成、验证与发展，在这一过程中，自主学习会起到重要的作用。
徐铎厚：经验在人的生活中始终发挥着重要而独特的作用。对学习如此，对生活也是如此。人们常说的创造新生活，无不是在经验的基础上，结合具体情况而提出自己的见解而形成的。我过去讲过，人们在经验中形成的才能和谋略就是实践智慧。这也可以从另一个侧面看出经验在人的学习、生活、发展中的重要性。
对学生来说，不在乎学什么，关键是怎样学，也就是通过学习掌握学习方法的问题。通常说的“学会学习”就是指掌握了学习的方法，而方法的积累就是经验。将在学习过程中得到的经验应用于新的情境，就会使经验不断丰富和发展。如此循环往复，学生才能真正实现由学会知识向学会学习的转变，这样的教学才算是真正意义上的教学，这样的教学，才真正把课堂当成了学生学习的试验场。如此，才能达到“教是为了不教”的目的。显然，这一目的的实现，离不开学生自主学习。
刘建宇：是啊！让学生由学会知识到学会学习，既是学生学习发生的质的飞跃，也是教师教学的理想追求。对处于当今信息时代学生来说，知识的积累并非是学习的全部，想学、会学、乐学才能达到理想彼岸的。其中，会学是根本，想学、乐学是保证。我自参加工作之始，就一直致力于这方面的探讨。我认为，只有让学生不断尝试，体验到学习带来的快乐，才能使课堂真正称为生命的发展场，生活的体验场，学习方法的实验场。基于这样的认识，我结合自己的个性特长，提出了很多适合学生特点的做法，取得了很好的教学效果。其中最重要的就是注重学生自主学习策略研究，让学生在自主学习的过程中，发现问题，提出问题，探讨解决问题的办法，总结解决问题的经验与教训，优化自己的思维，形成学生的个性化智慧。经过几轮实验，取得了显著的效果。
徐铎厚：我很早就关注你对教学的研究，在我看来，你现在的研究已经走到了很高的层面。我感兴趣的不仅是学生提前一年参加中考数学考试，成绩超过初三学生十几个百分点，更重要的是在你任教的班级中，学生100%的视学习数学为乐趣，虽然从来没有作业，但他们主动钻研，提前学习，都能从系统的、全局的观点处理某个局部的数学问题，并将这种方法向其他学科拓展，收到了很好的效果。不用说成绩好的学生，就是成绩落后，甚至是明明知道自己升学无望的学生，也在乐此不彼地学习，可见，这种策略的运用是多么神奇！
刘建宇：哈哈……你过奖了。我只不过多做了一点“磨刀”的功夫，不像有些教师那样一心只想“砍柴”而欲速不达罢了。当然，如何“磨刀”也是非常有诀窍的。下面结合我的一个课例谈一谈具体的操作过程，对大家理解我的思路和做法可能有更多地帮助。
徐铎厚：这个课例所涉及的内容是课本上某一节的具体内容吗？
刘建宇：我设计的这节课的内容是“在圆中求线段的长度”，它不是课本上某一节的具体内容，而是在学生学习“圆”的有关内容基础上，将在“圆中”求线段长这“一类”内容进行了整合而设计的。
徐铎厚：为什么设计这样一节课呢？
刘建宇：我认为，像有些教师那样，讲一道例题，做一组练习，学生也能学会相应的知识，但在经验的验证与发展方面，往往达不到应有的要求，将先前的经验与现在的新情境进行有效联系的程度不到位。就是说，那样的方法不能从经验层面使学生得到有效提升。再说，根据我的观察，课本上的例题学生都能看得懂，一般的练习也能做得出，对这样的内容，让他们自学就可以了，没有必要再详细讲解。所以说，教师的作用不在于重复，而在于提升。
徐铎厚：那提升的着眼点在什么地方呢？
刘建宇：这就是我设计这节课的关键。我认为，“求线段的长度”对学生来说并不陌生，关键是在“圆中”这一新的情境中“求线段的长度”。教师的作用就是引导启发学生如何与先前的在三角形、四边形等图形中“求线段的长度”所形成的经验进行联系、拓展、迁移、提升。也就是说，增添了“圆”这一新的因素后，原来所形成的经验能否直接拿来用，如果不能直接用的话，进行怎样的转换后才能用。从学生经验的形成、验证与发展这一点上进行突破，才是教师应该考虑的问题。
本节课，我设计了难度依次递增的四个问题。整体的考虑就是通过这四个问题的求解，让学生在唤醒经验、拓展经验、提升经验的过程中，形成个性化学习智慧。为了达到这一目的，也加了一些“调料”，目的就是引发学生求知欲望，提高学习兴趣，掌握学习方法，形成良好学习习惯。
徐铎厚：这些都是非常重要的。一节课的时间虽短，涵盖的内容也比较单一，但对学生发展来说，也是“麻雀虽小五脏俱全”，具有全息作用。所以说，重视“调料”的作用，也是必须的。
刘建宇：上课伊始，我并没有首先出示课题，明示学习目标，而是作了一番“动员”。我说，学习贵在积累，进步依赖质疑。知难而进，迎难而上，将自己以往的学习经验不断应用于新的问题情境中，才能实现自我超越。对一些疑难问题，表面一看，似乎非常难，但实际上也就是稍微增加了一点难度。看清了这一点，找到其中的差异，应用原有的经验就会比较容易的解决。即便是一时解决不了，也可以采用一些办法，将新问题转化成能依靠过去经验能解决的问题，新问题也就不新了。这样，你的经验就会得到进一步丰富和发展。
徐铎厚：你的动员产生了良好的作用。这一点从课堂上学生的表情和状态完全看得出来。学生的眼睛里充满了光芒，也充满了新的希望，跃跃欲试的感觉写在了所有学生的脸上，急切地盼望着教师出示本节课所要研究的问题。也就是在这个时候，你才板书了课题：在圆中求线段的长度。
刘建宇：这就是“调料”的作用。下面结合课堂教学实录谈一谈我的观点。
教师（即刘建宇，下同）：请同学们回忆一下先前学过哪些求线段长度的问题？
学生：（众）在学习三角形、四边形时都遇到过。
教师：在圆中求线段的长度，与在三角形、四边形中求线段的长度类似。请同学们回忆一下在三角形、四边形中求线段的长度时所积累的经验。
学生1：在三角形中求线段的长，通常借用勾股定理、三角形全等、相似形等来解决。
学生2：还有等积法、转换法。
教师：大家同意这二位同学的观点吗？
学生：（绝大部分学生举手示意同意。）
教师：很好！看来同学们已经积累了很多在三角形、四边形中求线段长度的经验。
（教师在学生回答过程中即时板书：勾股定理、等积不变、相似、转换、三角形全等。）
教师：站在整个三年学习内容的角度来看，还有什么方法？
学生3：三角函数。
（板书：三角函数。）
教师：这位同学站在整个三年学习的角度又补充了一个非常有用的方法，说明他已经通过预习、自学，做到了超前学习，这也是我一直提倡的。通过主动学习，会有很多收获，特别是能从整体的高度看待某一个具体问题的学习，这样，就会在学习具体内容时特别注意知识之间的前后联系。
徐铎厚：你为什么如此重视这个学生的发言？
刘建宇：从全局的视域中观察局部的问题，对学生学会学习有独特的价值。同时，教师必须做到及时、恰切的评价、激励学生，否则，评价、激励的效益会随着时间的增长快速递减。在实践中我还发现，很多学生好的学习习惯是通过老师及时恰当的评价得来的，没有鼓励评价，就没有学生能力发展的一切。
师：通过刚才的汇报可知，同学们已经积累了很多在三角形、四边形中求线段长的经验，咱们姑且算作是既有经验。如何将既有经验应用到所遇到的新问题中间呢？这就要回归到一般的学习方法中去了，即运用学习过程就是求同存异的过程，就是不断去验证经验的过程这一理念来解决新的问题。今天我们所遇到的问题是在“圆中”（在黑板上的这两个字下面划了一条横线）求线段的长度，在这个“新的环境”（板书：在已经划横线的“圆中”二字下写下了“新的环境”）中先前掌握的经验是否还成立呢？猜一猜，老师会用什么办法讲今天的内容呢？
学生4：可能会用三角形与圆对比的方式讲。
教师：采用什么方法？
学生5：每种方法找一个事例。
教师：你是说对在圆中遇到的疑难问题可以找一个过去学过的类似的事例来进行对比？
学生5：就是将求三角形中线段长的经验进行推广，同样，也可以将在平行四边形等图形中形成的经验进行推广。
教师：如何操作？
学生6：找规律。
教师：一个例子能找到规律吗？怎样找规律？
学生6：就是采用集合化的方式。（把很多类似的问题放在一起即为集合化。）
教师：同意他的说法吗？
学生：同意。
教师：好，咱们就采用同学们说的集合化的方式，寻找在圆中求线段长的规律。
（板书：集合化。）
徐铎厚：一般说来，数学教师上课习惯于直奔题目，“今天学习??，看例题??”，显然，你这样安排，已经远离俗套了。这样的做法，除了刚才说的好处外，还有什么其它考虑？
刘建宇：我认为，学生只把精神集中到老师讲授内容上，心态只是建立在只要听懂就行，很可能是跟在老师的后面亦步亦趋，处在被动状态，学生的学习思维不可能得到进一步的深化与发展。为此，在讲授之前，我尽量做到让学生对教师将要讲授内容的方式、方法有自己的见解，让教师的讲与学生的学产生思维碰撞。从而使学生的学习智慧、经验得以生成，进而达到一种学习策略系统化的水平。
徐铎厚：好。咱们继续看课堂实录。
E |
C |
D |
B |
M |
O |
第一题 |
1.如图，CD为⊙O的弦，M是中点，EM⊥CD，
CD=4 EM=6,求⊙O半径R的长度。
教师：不动笔先思考一下，一搭眼会做的（当地方言，一看就会的意思），请举手。
学生：（13人举手。）
教师：已经会了的同学把过程写下了，不会的同学思考后与同组同学讨论一下，重点讨论不会的地方。
学生：（书写、讨论。）
教师：（在学生讨论过程中走到一位刚才举手的学生旁边询问）一开始就会做吗？
学生7：会。
教师：想到了什么？
学生7：想到勾股定理。
教师：很好。把过程书写出来。
（讨论一段时间后找了一位开始不会做的学生）
教师：你遇到的障碍在哪里？
学生8：没想到连结OC，后来想到要用勾股定理，所以才想起来连结OC，构造出Rt△。
教师：连结OC构造Rt△，有思路就可以了。
教师：（通过巡视见学生已经找到思路后）全体同学注意，下面思考一个问题：从不会到会，心里怎么想的？说一说自己的想法和做法。
学生9：原来求线段的长，用勾股定理时有现成的直角三角形，现在没有，就应该构造一个。用连线的办法构造就可以了。
教师：你认为怎样构造？
（板书：构造。）
学生9：在圆中，直径所对的圆周角是直角，这个性质对构造直角三角形特别有用。再一个就是利用条件中的线段垂直构造直角三角形。
教师：这位同学说的非常好。他不但找到了这一问题的解决方法，还能充分考虑到圆的相关性质，为构造直角三角形服务，同时又丰富了自己的经验，而不是就题论题仅仅得出这一个题目的答案。这才是真正的学习。利用新环境所提供的新情况，在没有直接提供直角三角形的情况下，构造出直角三角形，然后利用已形成的经验解决新问题，是一条非常好的思路。
徐铎厚：这一题目，学生一看就会的就有13人，看来难度不是很大，你为何还用了这么长的时间让学生又是思考，又是讨论，尤其是还分别询问了一个上来就会的学生，一个不会的学生是如何思考的？
刘建宇：一方面，询问会的学生，主要是看他的思路是否科学、严谨。询问不会的学生主要是了解他的思维到了哪一步，与做出这道题的思维还有多大的距离，以便更好的因材施教，以学定教。同时也让学生了解自己，建立学习的信心。其实在教学中，有很多教师仅仅关注教学的表面结果，而忽略了学生学习的心理历程，学生的学习始终处于皮毛阶段，而无法达到真正的理解，可见，一时会做题不等于会学习，答案正确不等于思维科学。另一方面，课堂存在的意义不仅仅是看学生学了多少知识，形成了哪些技能，更重要的是唤起学生学习的信心与兴趣。教师要把教学过程中的每一个环节都赋予它一种教育的内涵，形成一种有目的、有实践、有评价、有总结、有发展的完整的教育封闭区间。把课堂看做是完善学生人生个性、智慧的一个片段，通过它去最大限度的解决人的一般发展问题。
A |
C |
D |
B |
O |
第二题 |
2.如图，在⊙O中，∠CAD=300 BO⊥AD OB=5 则BC=?
教师：这个问题比第一题略难，但我相信，肯定有同学会做。读一遍题目后就有思路的同学请举手？
学生：（4位学生举手。）
教师：在没有举手的同学中，谁没有想到作辅助线？哪些同学没有想到连结CD？
学生：（有一部分学生举手。）
教师：要求出BC，先求出AC。过去我们探讨过，这种方法称为转化。就是将未知量通过一定的手段，转化成已知量。请同学们回忆一下，常用的转化方法有哪些？哪位同学能回忆起原来总结过的几种转换方法？
学生10：转换的方式有分解、化合和找第三量。
（板书：分解、化合、找第三量）
教师：这位同学回答的很好。你接着给同学们说说自己是怎样做出来的。包括当时没有做出来的原因，后来又是怎么想起来的。
学生10：（思考）
教师：说一下。
学生10：看到直径，就把直径一端与相近的点连接，构造出三角形。也就是把圆周角与圆相交的两个点连起来。
教师：为什么看到直径就这样连接呢？
学生10：根据圆的性质，直径AD所对的圆周角是直角，因此连接C、D，所形成的∠ACD就等于900，因此，△ACD就是直角三角形。这样，就可以利用直角三角形的有关性质来求得线段的长。
教师：这个同学的思路非常清晰，很好。还有哪些同学与他的思路相同？请举手。
学生：（有20余人举手。）
教师：通过举手的人数说明，还有同学不是采用这种方法。应该讲，不采用这种方法，虽然可能在解决这个问题上存在困难，但那种方法可能对解决其他问题非常有效。比如，有一位同学连接了0、C，就没有做出来。但连接0，C,也有它的价值，这使我想到了一个问题，就是求阴影部分的面积。站在三年学习的高度，有什么办法？
学生11：规则?规则，所以想到了连结CD，用特殊图形减特殊图形的办法。
教师：其他同学呢？想一想，求线段的长度有什么招数了？自己出一道题验证验证。
徐铎厚：这个题目增加了难度，但课堂上看你的处置方式并不单纯在突破难度上，而是着重于方法的系统化，为何这样做呢？
刘建宇：在实践中发现，学生之所以在解题中经常遇到障碍，不是基础不行，而是学生对所求问题不能多角度思考，思维方式单一，没有把学习策略、方法达到系统化的水平，学生学习的思维就不能得到真正意义上的深化和拓展，因此，在教学中，我有目的的强化了这一点。
徐铎厚：在刚才的处理过程中，有一点我非常感兴趣，就是有一个学生所用的方法，明显不能解决这个问题，但你还是鼓励他，并指出那种方法在处理其他问题中的价值，这又是处于怎样的考虑？
刘建宇：教师不要轻易否定学生做题的思维方法，而是要帮学生分析他的方法在什么情形下是有效的，在什么情形下无效的，这才是问题的关键。只有这样，培养学生观察问题分析问题的能力才能落到实处。
学生：（思考、尝试。一段时间后）
D |
A |
C |
B |
E |
第三题 |
0 |
O |
ED⊥BC，D为中点，半径为 ，DE=3,求BC
教师：根据刚才的经验，哪些同学一看就知道解题思路？
学生：（4人举手，示意会做。）
教师：知道了，很好。想到连结BE的请举手？
学生：（又有10人举手。）
教师：到了新的环境，难度增大了，??同学有答案了吗？
学生12：我还没有想清楚。
教师：已知ＤＥ=３，连结B、E，则△AEB为直角三角形。这样，就可以不要思路，一口能说出答案。信不信？试一试。
学生：（非常惊讶的表情。）
教师：要是我的话，我这样思考：D为中点，告诉我中点干什么？用勾股定理不行了，就要考虑中点干什么？对，它是特殊的点，那句话叫
学生：（众）直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半。
教师：对，这样一下就解决了。从以上这三个题目中可以看出，圆中的直角三角形真有用。中点，更有它的特殊作用，就是利用好直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一定理。所以说，对于做题，要深入思考，一是对所求问题进行发散，二是对各个条件深度挖掘，广泛联系。
（板书：做题：所求——发散；条件——广度）
教师：如果不先求BC，直接求BE，难度更大。知道直径AB的长，求出BC，就知道了AC，再求BE怎么办？
学生13：?AB?BC=?BE?AC，这样就可以求出BE了。
教师：依据的是什么方法？
学生13：等积不变。
教师：这位同学的思路非常清晰，值得大家学习。通过前面的练习，同学们的经验不断得到丰富，这为解决下面这个题目打下了基础。
徐铎厚：从上述过程我们可以看出，解决这个问题方法很多，你的处理方式也不同于前两个题目。其中“……就可以不要思路，一口能说出答案”会使学生感觉到非常神奇。这样做的好处在哪？
刘建宇：让学生明白学习经验的生成以及思维的发散、题目条件的深度挖掘对解题的重要性。其实，学生学习能力形成的标志就是一种正确的学习观念的生成。而这种观念的生成需要老师反复去引领、落实、评价与强化。
徐铎厚：这样就不会使学生的思维单纯停留在“会做”这个层面，而是落实到“对所求问题进行发散；对各个条件深度挖掘，广泛联系”上了。显然，这样的处置非常有利于学生的深度思维，既鼓励思维的发散，更鼓励思维的优化。
刘建宇：对，只有这样，才能把学生从题海中真正解救出来。让学生明白数学的学习就是一种思维文化的学习，即使一个简单的问题，也应赋予它思想的灵魂与智慧的火花。
教师：请同学们看第四题。
D |
Ａ |
C |
G |
E |
O |
第四题 |
F |
B |
学生：（各自思考，独立求解。间或讨论。）
教师：（巡视到一位学生前问）能用什么方法求出？
学生14：打算用等积不变，只是在证明时还没有最后定下来。
学生：（相互间讨论的学生渐多，声音渐大。）
教师：（巡视中发现学生基本完成任务。走向讲台。）我再增加两种方法，你们相信吗？
方法一：利用等积不变解决，即 BC?OF= OB?OC
方法二：构造二元一次方程组，利用思想解决。连接OB、OF、OC。设BF为x,半径为r.
教师：请同学们结合自己的做法对这两种方法进行思考讨论，并寻找后两种做法的思维的起点与自己的想法之间的差距。
学生：讨论、对比、分析。
（板书：曾有过的思维）
徐铎厚：“找差距”的做法非常值得发扬。而在有些教师的课堂里，往往存在这样的情况：当有一位学生举手示意，教师立即让他回答出预想的答案了，随即进行后续内容的教学，用这一个学生的思维代替所有学生的思维。这两种做法的差异背后代表了不同的教学观。你能否具体谈一下之所以这样做的原因吗？
刘建宇：现实很多课堂中的民主氛围还非常欠缺，课堂教学的核心就是技能知识的落实，师生完全充当的了教学进度的奴隶、分数的奴隶，突出的表现是教师缺乏聆听的爱心、等待的耐心、询问的诚心、唤醒的责任心！为了完成进度，用一个学生的思维代替所有学生的思维，节省下的时间用来大密度、高强度的训练，试图以此来提高学生的成绩。我认为，这样打下的基础，是不能促使学生持续发展的。教学应从学生学习需要的原点出发，这个原点，是知识的原点、学生智慧生成的初始点、学生的兴趣的需要点、学生思维规律的出发点的杂糅。教师应该通过课堂教学，唤起本来属于学生自然生理行为的求知欲望。
教师：通过这四个题目，你能获得什么信息？
学生15：（从知识、方法、思维、发现等方面进行了小结。）
教师：这位同学有独到见解，对大家一定有很多启发。这四个题目，就是验证勾股定理、等积不变、转化等已有的经验，在验证这些经验的过程中，又丰富了自己的经验，学会了在“圆”这一新的情境中如何解决新的问题。这样的学习过程对你有什么启发？
（板书：经验；验证）
学生16：我认为，学习就是根据新的问题情境不断探索新的解决方法，形成新的学习经验，而这些经验又是相通的。比如在圆中求线段的长度，也是用勾股定理、等积不变、转化等方法，只不过是添加了“圆”本身的一些性质为解题服务，这也同时丰富了我们的经验。
教师：总结的非常到位。这位同学所说的将结合新的因素形成的新的方法纳入到原有的经验体系中的做法，就是我们经常探讨的一个学习之道——归一。看来，同学们已经掌握了很多“道道”（方言，有办法、有才能、有智慧的意思。）下面布置两个课下学习任务：1.找几个题验证一下刚才形成的经验；2.如果把求长度变为求角度，该如何办？
附：
板 书 |
在圆中求线段的长度
|
新的环境 |
集合化 （集合左边这些方法）
|
验证
|
经验
|
勾股定理 等积不变 相似
三角形全等 三角函数
|
化 合 |
分 解 |
第三量 |
转 换 |
第四题 （图略） |
构造 |
做题
|
1.所求——发散 2.条件——广度 3.曾有过的思维 4.…… |
第一题 （图略） |
第二题 （图略） |
第三题 （图略） |
徐铎厚：从以上教学过程中我们可以发现，你并没有按照人们认为的既有套路行进，而是把激发学生学习情感放到了首要位置。这也是你在自主学习研究中始终坚持的一点，那就是没有学生浓厚的、持久的兴趣，没有学生学习的信心与责任，没有学生学习的良好的思维习惯，学生的学习动力就会成为无本之木、无源之水。所谓的知识掌握也好，当堂达标也罢，都是浅层次的，对学生的成长来说，无异于缘木求鱼。实践告诉我们，对学生来说，不论学哪一学科，也不论学哪一章节，只要是接触新的内容，就会自觉不自觉地存在畏难发愁的情绪，任凭这种情绪自由发展，就会给学生带来越来越多、越来越大的心理障碍，长此以往，学生就会变得越来越不自信。越是不自信，就越没有主动学习、主动超越的动力，就越需要教师的详细讲解，学生也就慢慢地由主动学习变为被动听讲，被动记忆，学到的至多是教师告诉的结果。实际上，对学生来说，学习是一个连续的过程，在这些连续的过程中，每一天学习的新内容，其超越过去内容的所谓难点不是很多，更多地是在原有知识基础上的发展，所以，明确了新旧知识之间的差异，尝试用过去的经验解决新问题，就会发现疑难不难。在课堂观察中我发现，学生对你的“战前动员”都非常认可，都在耐心听，用心想，所流露出的兴奋之情说明，情感的力量是无穷的。
刘建宇：出示学习课题之后，我采用了惯用的“明确问题所在，找到困惑原因”的办法，让学生通过对课题的解读，猜测教师可能会用的解决办法。本节课所学的“在圆中求线段的长度”，在学生看来，“求线段的长度”是过去已经接触过的内容，在学习三角形、四边形时都研究过，只是添加了“在圆中”这一限制条件后，具体情境会发生变化。所以，我出示课题后，首先让学生“回忆一下先前学过哪些求线段长度的问题”。这一问题对学生来说不存在困难，就连过去解决这类问题的经验，学生也能在相互补充的情况下回忆出来，难的是如何将“圆”的要素与先前经验中的“三角形”、“四边形”等区别开来，与“求线段的长度”联系起来。所以，在这种情况下，我特别注重启发引导：一是能为学生的思维定向，避免信马由缰，二是帮助学生克服畏难发愁的情绪，让学生在已知与未知之间寻求正确的方法。由此说来，我所说的“在圆中求线段的长度，与在三角形、四边形中求线段的长度类似。请同学们回忆一下在三角形、四边形中求线段的长度时所积累的经验”就显得非常及时，也非常重要。这样的定位，也为学生顺利找到自己的认知冲突打下了良好基础。
徐铎厚：通过课堂观察可以看出，在教师的启发下，学生能通过快速检索大脑中所存有的相关信息，不断挑出关键词：勾股定理、等积不变、相似、转换、三角形全等，更有学生通过超前学习，还知道了用三角函数求解。这样，学生就把本节课可能会用到的既有经验提取出来了。
刘建宇：在有些教师看来，提取出经验后就有“水到渠成”的感觉，也就有了“马放南山”的想法。但是，我认为，学习不单是得到问题的答案，而是探寻学习方法，利用既有经验，解决新问题，丰富学生的经验系统。所以，我在课堂教学中，反复启发学生猜想教师可能要采取的解决办法。学生经过对过去学习过程的回忆，说出了“找规律”这样的猜想，我就在表扬鼓励的基础上追问，让学生深入思考。学生又想到了“集合化”这一解决问题的一般方法。至此，才算是做好了解决新问题前的情感、认知、方法、经验的铺垫。
徐铎厚：有了这些铺垫，学生在观察尝试解决你依次出示的4个例题后就不难发现，虽然这些题目的难度逐渐增加的，所涉及的具体解决办法也不完全一样，但有共同的指向，那就是在验证学生既有经验的基础上发展和丰富学生经验，也就是将学生在三角形、四边形中形成的“求线段的长度”的办法应用到“在圆中求线段的长度”这一新的问题情境中去，形成新的经验。有了这样的宏观思维，就不会拘泥于个别细节，就能从整体上建构学习的方法，思考过去经验，形成新的经验。
刘建宇：在解决这些问题的过程中，我坚持以学定教。出示问题后，并不急于讲解问题的答案，而是让学生充分发言：“不动笔先思考一下，一搭眼会做的，请举手。”对举过手的学生，我利用学生讨论的间隙，进行了解。“一开始就会做吗？”“想到了什么？”在巡视过程中，对不会做的学生，询问的更加仔细。“你遇到的障碍在哪里？”“如何突破的？”“从不会到会，心里怎么想的？说一说自己的想法和做法。”这些看似无关紧要的问答，在有些教师看来，纯粹是浪费教学时间，但我特别看重。让学生充分暴露思维，让学生把自己的想法呈现给大家，既能相互启发，又能彰显不同思维的价值。尤其是错误的思维，对学生发展来说，也有独特价值。对大部分学生来说，做对也好，做错也罢，都不是重要的，重要的找到对与错的思维根源，对，清清楚楚，错，明明白白。就是对一时做对的同学来说，也难免存在可能的思维混乱，只有通过充分暴露思维，才能让不同的学生、不同的认识展现在大家面前，去伪存真，去粗取精，才算是达到了真正掌握的程度，这也是实现由学会向会学转变的关键一步。
徐铎厚：在与学生的日常交流中经常听到这样的声音：一学就会，一放就忘，一变就不知如何下手。我认为这些问题的根源就是在形成经验的过程中，存有更多的似是而非的思维，这类思维的不断叠加往往会掩盖和排斥正确思维的不断优化和提升，久而久之，粗糙、无序的思维充斥大脑，就会引发更多地思维混乱。从某种意义上讲，这也是思维的负积累问题。
教学中你总是注重尽可能穷尽学生可能的答案。若对，则考虑有没有不同方法；若不对，让学生说一说自己的思维过程，让学生暴露思维，就是暴露错误和生成错误思维的过程，教师若能找到学习的新的生发点，顺势而为，把这个点慢慢做大，就是一种非常好的方法。再遇到相关问题时所有思维都可以用得上。同时，让学生说明思维的过程，本身就是最好的学习方法。现实中的很多教师，往往只预设的一种思维，当学生的思维发生偏离，甚至与教师预设的思维相向时，就用预设的思维替代学生思维，从而把学生思维发展的生长点不断扼杀在摇篮里，使学生失去了主动发展的热情和信心。从这个角度讲，你与学生的这段对话就显得特别有价值：
学生：原来求线段的长，用勾股定理时有现成的直角三角形，现在没有，就应该构造一个。用连线的办法构造就可以了。
教师：你认为怎样构造？如何连线？
学生：在圆中，直径所对的圆周角是直角，这个性质对构造直角三角形特别有用。再一个就是利用条件中的线段垂直构造直角三角形。
教师：这位同学说的非常好。他不但找到了这一问题的解决方法，还能充分考虑到圆的相关性质，为构造直角三角形服务，同时又丰富了自己的经验，而不是就题论题仅仅得出这一个题目的答案。这才是真正的学习。利用新环境所提供的新情况，在没有直接提供直角三角形的情况下，构造出直角三角形，然后利用已形成的经验解决新问题，是一条非常好的思路。
刘建宇：将新情境——“圆”中的有效元素充分利用，将思维的过程进行条分缕析，不仅清晰地表达了“构造”的方法，而且优化了思维，对其他学生来说，也能从这个学生的回答中找到共鸣点，找到差异点，从而提升自己的思维品质。
徐铎厚：按说，学生的学习达到这样的水平，已经令人满意，但你总是不满足，何故？
刘建宇：在我看来，这只是万里长征所走的第一步。接下来的探索，虽然用时不长，但对于优化提升学生的思维，将学生既有经验与新产生的经验进行有效弥合，却有重要作用。我当时问学生：通过这四个题目，你能获得什么信息？在这样的追问下，学生自觉不自觉地就会对本节课的学习过程进行反思，将新的收获与既有经验进行对比分析，经过这样的过程，学生的认识水平有了进一步提升。一位学生的回答清晰地说明了这个问题：我认为，学习就是根据新的问题情境不断探索新的解决方法，形成新的学习经验，而这些经验又是相通的。比如在圆中求线段的长度，也是用勾股定理、等积不变、转化等方法，只不过是添加了“圆”本身的一些性质为解题服务，这也同时丰富了我们的经验。这样的回答，是我非常期待的。学生只有不断实现学生方法、能力的正迁移，才算逐渐掌握了学习的玄机，才能实现由学会向会学的转变。所以，我顺势而为，布置两个课下学习任务：1.找几个题验证一下刚才形成的经验；2.如果把求长度变为求角度，该如何办？这两个问题，一个是在更多的问题中验证刚刚形成的经验，一个是在更宽的平台上创造新的经验，让学生在愤悱中接受新的挑战。
徐铎厚：在这样的课堂中我们不难发现，学生做题的目的绝对不是仅仅得到答案，而是验证经验，生成经验，建构属于自己的学习方法，从而实现智慧的发展和提升。这，才是真正的育人之道。有人说过，课堂是生命与生命的对话，是经验与经验的对接。教师与学生相互靠近，将教师的“学术”经验与学生的“学习”经验对接，教师进入学生的话语系统，进入学生的思维系统，师生才能真诚对话，才能实现教是为了不教的初衷，才能让学生在经验的验证与发展中不断实现自我超越。
刘建宇：当然，搞好学生的自主学习，教师需要首先明确课堂教学是从知识出发，还是从学生实际出发的问题。学习是学生将在实践过程中生成的那些想法付诸于行动的过程，教育在很大程度上就是如何保证学生正确观念的形成。知识不等于智慧，我们需要的是获得知识、技能的经验和获取过程中形成的那些见解看法，所以，学生一种认知观念的生成、验证、完善和升华，应该成为课堂的本质特征。我们知道，在求知的过程中，若学生没有自己的见解，也就没有和教师、同学进行思维碰撞的资本，从而也就没有将自己的见解进一步验证和升华的机会，更别谈对知识学习的方法、规律的感悟了。为此，在课堂上我们必须关注我们的课堂教学策略是否有助于学生个性化学习方式的形成。每一个问题都要培养学生有自己的见解，这种见解那怕是错误的，也是非常可贵的。然后引导学生通过验证或完善、或推翻自己的错误，形成自己新的、正确的见解，如此循环往复，必将造就学生强大的头脑，形成学生智慧的性格。一句话，学生学会不是目的，而是在整个学习过程中，获取探索更新知识的方法、手段和智慧。形成自己的个性化的学习方式，并由此形成自己的学习之道。对于教师而言，每个课堂都是实验室，教师要让每一天的教学、学习变成自己教学改革的一种实践行为，变成教学理论的一种验证、完善行为，变成创造性发展自己的行为。
徐铎厚：要达到这样的目标，教师就要根据具体内容周密设计教学方案。同时，在课堂中实现角色的变化，变“讲”师为“教”师。这就需要考虑到学生发展的整体性，考虑到学生发展的可持续性，考虑到“一时”与“一世”的辩证关系。
刘建宇：对。课堂教学应置于学生认知发展的系统中。课堂教学应体现系统性的原则，它包括对教材如何整合、处理，才能培养学生正确思考问题的观念。课堂教学策略如何定位，才能培养学生学习的性格习惯。课下活动的如何开展，才能让学生体会到学习的迫切、快乐和需求。作业的如何设置才能让学生的学习思维得以深化且符合学生的认知规律、心理规律和学科规律。作为教师，我们应研究制定什么样的评价机制、操作活动规程，让学生在这个发展过程中的每一链节最大限度的发挥自己的主观能动性。行为决定习惯，习惯决定性格，性格决定命运。课堂教学实践一直昭示着我们，通过什么样的基础教学能使学生带着一份渴求、灵动的心情去探索求知。并在探索求知的过程中学会归纳、反思、验证、升华、补充、完善。学会发现问题，解决问题，最后形成一种性格，一种智慧。这是学生可持续发展的关键之所在。它在很大程度上反映了认知基础与未发展领域之间所应遵循的承启关系，也反映了我们课堂教学的价值取向。但在现实的学习过程中，有些教师把太多的精力投注到学生的基本知识、基本技能的训练上。为了让学生获得一本书、一章、甚至一节的高分。让学生去背、去记大量重复的复杂到顶点的题目，还可能认为这是为学生好，是为学生的前途着想。实际上学生一直这样才会真的没有前途。通过这几年的改革实践，我们认为，建立学生可持续发展的认知基础，应包含以下几个方面：
①学科所体现的知识要点。它包括概念、公式、法则、定理等基本知识、基本技能，是学生学习发展的基础。
②不同的知识类型所采用的学习方法。包括如何看书，如何解题，包括章节的学习方法，更包括一本书的学习策略。在这一点上，我们不但告诉学生方法，还要告诉产生方法所应遵循的认知思维的原理。
③学科知识间的普遍联系规律。它包括知识间的联系性，类似性，归一性，系统性等特点，更包括知识间的同中有异，异中有同的普遍规律。
④学科所应体现的思想。就教学来讲，它包括转换，化归代换的思想，数学探求的最简思想等。
⑤学生所应具备的创新心态。它包括学生的责任意识，忧患意识，合作意识，争创一流的意识，持之以恒的探求意识，更包括超前的思维意识等。
⑥解决问题的辨证观点。包括求同存异的学习观，解决问题的发散与集中观，一题多解、多解归一、多题归一。让学生明白任何事物之间都是相互联系的。人们认识事物的方法、研究问题的方法是一个继承与发展的关系。
⑦研究问题所应具备的性格习惯。它包括解决问题时的探究意识，探究问题时的归纳意识，解决问题的反思意识，把握解决面临问题的主要矛盾意识，对任何事情把握时的规律意识，能够体验到任何事物研究所应遵循的“认知——理性理解——总结规律——验证升华”的思维发展过程。
徐铎厚：这七个方面的认知基础，对学生自主学习能力的形成确实具有奠基性的作用，灵活处置的方式肯定很多，比如有人提出过“基础知识不应求全，而应求联；基本技能不应求全，而应求变”，你在教学中是如何认识和实践这类思考的？
刘建宇：我们应该站在整体的高度上，去研究不同的知识类型所采用的学习方法，去归纳学科知识间的普遍联系规律，去领会学科内容所蕴含的思想精髓，去反思数学学习过程中的发散与集中的价值，如此才能让学生真正认识到任何事物之间都是相互联系的。而认识事物，研究问题的方法又是一种继承基础上的再发展。可谓同中有异，异中有同。比方说，人们研究三角形、四边形、圆，都是通过边、角、线三个方面来研究的，只不过圆中的边等同于弧，角等同于圆周角、圆心角，线等同于弦罢了，这就是同。而异，比方说对于圆中的求角度，虽然用以前的求法，在圆中大多数都适合，但它又有自身的特点，就是利用弧来求，这就是异。只有这样，学生才能真正明白学习是一个求同存异的过程。也唯有如此，才能真正落实学生的创新能力。这也就达到了我们的快速学习与创新能力的有效结合。总体说来，学生自主学习能力的形成，应该在“联”与“变”上下功夫，由此形成学生的经验，发展学生的经验，升华学生的经验。如何在学生的一个学习阶段做好这项工作，需要教师进行宏观规划和指导，比如初中三年的学习，就应该遵循一些基本的原则和方法。如：
①让学生通过梳理课本知识去寻求知识间的联系。通过寻求知识间的联系，去培养学生比较、联想、分析、概括能力和学生迁移思维的能力，更进一步提高学生对数学知识的系统化、条理化的认知水平。正因如此，才出现了一个问题用多种方法求解的现象。在章节复习课上，通过对方法的整合，学生提出寻找圆形木料直径的两种不同途径；在跨章节的复习课上，学生提出在解决池塘宽度的问题上，除了课本上用全等的方法求解外，还可以用四边形、解直角三角形、相似形和圆的知识来解决。所有这些，解决了知识的“基础性——技能性——创新性”三者关系的协调问题，培养了学生进行数学建模，联系身边实际生活的能力。
②让学生的学习有明确的目标导向。对某一个问题要牢牢抓住从“理解——联系——比较——挖掘思想”的合理递进。这是提高学生自学能力的关键之所在。没有做与悟的结合，就谈不上能力的发展，更谈不上基本素养的形成。因此，从微观做题方面，我们给学生提出要求如下：眼里不要仅有这道题，要有结论的思维发散体系，通过对题目已知条件的深度挖掘，要有条件作用的广度体系以及处理相同、类似问题曾有过的思维空间，然后做到三者的有机结合。让学生形成比较规范的思维运作体系，使做题的过程成为补充完善这种思维运作体系的过程。一句话，做题的过程是“经验＋条件作用的延展＋数学思想＋归纳解决”这种问题途径的有机结合。它象侦探一个案子一样，排除、猜想、论证。我们认为，在很大程度上，一种能力的产生，不是教出来的，是做与悟而产生的必然结果。
③让学生进行反思研究性学习。我们认为，对于研究性学习，土壤应该在基础学科中。没有从基础学科养成的反思研究性学习习惯，其它研究性学习好比是无源之水，无本之木。基于此种想法，我们从学生日常做题中进行研究反思。比如老师讲过多遍的题学生为什么不会做，应从学生生理的角度（遗忘规律）、做题时的心态与学科体系的角度分析研究。例如学生在做1 2/x x/（x 2）=10/3，学生想不到先化成（ x 2) /x x/ (x 2) =10/3这一步，这与学生做题时心态上没有首先考虑到是否有简捷的方法有密切的关系。如果学生做题时考虑到简捷的方法，再观察到它是一个分式方程，学生便自然会考虑到通分，以下的步骤水到渠成。如同分解因式时首先考虑提公因式一样。当然，对于学生做出的题，特别是多种方法解出的题，应让学生进行做题后的反思性研究，即产生的多种方法是受什么思维和数学思想所支配的，这是学生形成能力极为关键的一步。进一步的扩展，学生每天晚上可以反思一天学习的内容，怎么才能做得更好。更可以进行一周的反思性研究，包括对自己行为的反思、思想上的反思。我们认为，方法不要贪多，一个方法落实了，让学生形成习惯素养，就会产生巨大的效益！一定！
徐铎厚：你说的非常有道理，相信大家和我一样，一定会受到很多启发。
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