数形结合在解题中的应用

市实验小学   杨宏伟

 

1.什么是数形结合

（1）所谓“数形”结合就是通过数(数量关系)与形（空间形式）的相互转化、互相利用来解决数学问题的一种思想方法。数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。它可将抽象的数学语言与直观的图形相结合，是抽象思维与形象思维结合。有些数量关系，借助于图形的性质，可以使抽象的概念和关系直观化、形象化、简单化；而图形的一些性质，借助于数量的计量和分析，得以严谨化。

数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。
      例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想。

数形结合方法的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。这里的“数”指数学术语、数学符号、数学公式及用语言文字表现的数量信息和呈现方式；“形”不仅仅指几何图形，还包括各类图像、实物类教学资源等形象材料，以及用这些材料呈现数学信息的方式。

（2）数形结合的好处

华罗庚的关于数形结合的词一首：

       数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

       数缺形时少知觉，形少数时难入微。

       数形结合百般好，隔离分家万事非。

       切莫忘，几何代数统一体，

       永远联系，且莫分离。

（3）用数形结合解决问题的策略

用线段图和数学画来帮助分析解决问题，从而提炼数形结合的解题策略。

实践操作，引导学生从尝试探究中获取策略 。瑞士心理学家皮亚杰指出：“儿童的知识来源于动作，而非来源于物体。”用图画整理混乱的信息，都是让学生在独立思考或合作交流中，通过动手操作尝试探究解决问题，让学生在动手、动眼、动口中加深对算理的理解，使知识内化，从而获得成功，激发兴趣，建立自信，体验数形结合的绝妙，从而获得数形结合的解题策略。

分层递进，构建数形结合解决问题的策略体系。教学设计多组练习，看似相对独立，实则环环相扣，分层递进，既有效地对学生进行了数学思想操的培训，又帮助学生构建了一个完整的数形结合解决问题的策略体系，有效地提高了学生解决数学问题的能力。

潜移默化，渗透数学思想教学。学生的解题策略需要在数学思想的指导下来实现，而数学思想不是一、两节课就能教给学生的，而是靠教师在平时的教学中，从点点滴滴开始，潜移默化地渗透给学生，让学生去感悟去体会，然后才能运用。从形到数，再从数到形，画线段图，画数学画渗透了数形结合的思想、替代思想、转化思想，假设思想，随时根据学生的回答随机提炼这些数学思想，让学生在无形中接受数学思想的熏陶，为学生数学素养的形成奠定了一个坚实的基础。

 

（4）数形结合方法的实质

数形结合的方法具有双向性：借助“形”的生动和直观性认识“数”，即以“形”为手段，“数”为目的；或借助于“数”精确和规范地阐明“形”的属性，此时，“数”是手段。

1.以“形”助“数”。“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。（1）数学概念的建立借助“形”的直观。由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。同样，运算的概念（如“除法”、“余数”）、数学术语（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的参与。 （2）数学性质的探索依赖“形”的操作。数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。“分数的基本性质”、“小数的性质”可以让学生在对图形的等分中理解。（3）数学规则的形成需要“形”作材料。数学规则在小学主要是有关演算过程的具体实施方法。规则学习是学生技能形成的先导。让学生明确规则的合理性、理解其推导过程的意义，不仅仅在于理解算理，更重要的在于学会学习，实现过程性目标。而数形结合能降低思维难度，让学生有信心和能力归纳出法则。如“20以内进位加法”是通过实物操作体会“凑十”的过程；分数乘法（如1/2×1/5）法则在折纸过程中归纳算法；长方形面积计算方法在“摆（面积单位）→数（小正方形个数）→想（个数与长宽关系）”等过程中获得。

　　　　（4）解题思路的获得常用“形”来帮助。借助图形解题的最大优势是将抽象问题形象化。因为将数量信息反映在图形上，能直观表现数量间关系，从而获得解题思路。尤其在解较复杂的文字题、应用题（如“种植株数”、“截断”等）时，恰当选用线段图、示意图、集合图等等，是寻找解题途径最有效的手段之一。

　　　　2.以“数”解“形”。“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力，使儿童更准确地把握“形”。

　　　　对图形的认识要用数学语言的描述加以深化。如“直线”的教学，由于在生活中无法找到原型，画出来的也只是线段，而辅之以数学语言“直”、“无限”、“延伸”等，就能较好地建立相应的表象。

　几何图形的周长、面积、体积计算公式的归纳都是儿童对形体直观知觉的深化。如对长方形面积大小观念的建立从定性到定量，从直观比较到数方格，从摆小正方形（面积单位）到发现面积与长宽的关系，最终获得面积计算公式，使儿童从更深层面上认识了长方形。

　　对几何图形性质的判断有时需要通过计算才能获得正确结论。如：“周长相同的三角形、正方形和圆，哪个面积最大？哪个最小？”由于作图困难，凭图形直观难以判断，而通过具体计算，结论就不辨自明。   

2.例题：

1.  3年前，父亲的年龄是儿子的5倍；5年后，父亲的年龄是儿子的3倍。今

 

年父亲（  ）岁，儿子（  ）岁。

 

2.  高中学生人数是初中学生人数的5/6,高中毕业生是初中毕业生人数的12/17,高、初中毕业生毕业后，高、初中剩下的人数都是520人。那么高、初中毕业生共多少人？

高中毕业生12份人比初中毕业生17份人少5份人，说明高中生有5×5=25份人，初中生5×6=30份人，520人是25-12=13份人，每份520÷13=40人，毕业生共40×（12+17）=1160人。

 

3.  寒假中，小明兴致勃勃地读《西游记》，第一天读83页，第二天读74页，第三天读71页，第四天读64页，第五天读的页数，比五天中平均读的页数还多3.2页，问小明在第五天读了多少？

4.  陈辉问王老师今年有多少岁，王老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。”问王老师今年多少岁？

【分析与解答】：我们先要明白：如果我比你大a岁，那么“当我像你这么大时”就是在a年前，“当你像我这么大时”就在a年后。这样便可根据题意画出下图，　从图上可看出，a=13，进一步推算得王老师今年29岁。