从公式上理解PID

文章目录

• 导言
• 基础知识
• PID的公式推导
• PID的误差分析
• 结语

导言

pid在工业上的应用占90%以上。但许多没学过自动控制原理的小伙伴着实难以理解，所以我在这里尽我所能，用简单的高数知识给大家讲一些我自己的理解。由于pid在网上有许多可参考的资料，我这里重点分析pid控制器的稳态误差，这是我当时学习时最难理解的地方。据我所知，在其他对pid的介绍里几乎没有过对这方面的详细解释。所以我这里小谈一番。
如想深入了解pid控制器的原理，可参考自动控制原理。（根轨迹法最容易理解，如不必要，可只看时域法与根轨迹法）
本文只针对单位反馈的系统。
本文属个人理解，可能缺乏严谨性

基础知识

• 微分算子
  记$\frac{d}{dt}=s$dtd​=s，则$\int_{}^{} \, dx=\frac{1}{s}$∫​dx=s1​。
  s即被称为微分算子。

• 算子表示微分方程
  微分方程$\ddot{y} 3\dot{y} 2y=x$y¨​ 3y˙​ 2y=x。
  用算子表示$s^2y 3sy 2y=x$s2y 3sy 2y=x。
  则$\frac{y}{x}=\frac{1}{s^2 3s 2}$xy​=s2 3s 21​，该式子表示了y与x的关系，即自控中的传递函数。

PID的公式推导

y为输出，x为输入。p,i,d分别为比例，积分，微分系数
$y=p*error(t) i*\int_{}^{}\,error(t)dt d*error'(t)$y=p∗error(t) i∗∫​error(t)dt d∗error′(t)
$y=p(x-y) i*\int_{}^{}\,(x-y)dt d(x'-y')$y=p(x−y) i∗∫​(x−y)dt d(x′−y′)
$y=p(x-y) \frac{i}{s}(x-y) ds(x-y)$y=p(x−y) si​(x−y) ds(x−y)
移向后，分离x，y，化简，则可求出输出与输入的关系$\frac{y}{x}=\frac{ds^2 ps i}{ds^2 （p 1）s i}$xy​=ds2 （p 1）s ids2 ps i​

PID的误差分析

• P控制器：快速抵消干扰
  让i和d等于0，则$\frac{y}{x}=\frac{p}{p 1}$xy​=p 1p​。由上式可以看出，输入与输出是纯比例的关系，最终稳态时，输出$y=\frac{xp}{1 p}$y=1 pxp​，则误差很容易算出$error=x-y=\frac{x}{1 p}$error=x−y=1 px​，所以，但用p控制器必然存在误差，增大p可减小误差，但会降低系统的稳定性。仿真结果：
  
  
• PI控制器：消除p控制器的稳态误差(积分消除误差)
  即让d=0，则$\frac{y}{x}=\frac{ps i}{（p 1）s i}$xy​=（p 1）s ips i​。因为s代表微分算子，微分乘以常数即为0。观察上式，在稳态时（s的一次及多次项为0），$\frac{y}{x}=\frac{i}{i}=1$xy​=ii​=1，即$x-y=0$x−y=0,无稳态误差。所以pi控制器无稳态误差和=，但如果i过大，同样不利于系统的稳定。仿真结果：
  
  
• PD控制器：提高系统快速性(微分可超前预测)
  即让i=0，则$\frac{y}{x}=\frac{ds p}{ds p 1}$xy​=ds p 1ds p​同上述方法，可算出pd控制器的稳态误差为$\frac{xp}{1 p}$1 pxp​由于d控制器具有前瞻性，所以可适当调大p以减小稳态误差。故pd控制器提高了系统快速性，也减小了稳态误差，但稳态误差不能为0。仿真结果：
  
  
• PID控制器
  pid控制器即集合了i与d控制器的综合效果。消除了稳态误差的同时，又提高了快速性与响应能力。仿真结果：
  
  

结语

至于pid调参等内容也是很重要的，推荐大家利用matlab仿真，有助于理解。给出matlab代码：

clear,clc;out=zeros(1,1000);p=0.5;i=0.0;d=0.0;error=zeros(1,2);pout=0;iout=0;dout=0;target=20;for t=2:1000;    error(2) = error(1);    error(1) = target - out(t-1);        pout = p(1) * error(1);    iout = iout   i(1)* error(1);    dout= d(1) * ( error(1) - error(2));        out(t) = pout   iout   dout;    endtt=1:1000;plot(tt,out);

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