作为程序员，回文串这个词已经见怪不怪了，就是一个字符串正着读和反着读是一样的，形式如abcdcba、bbaabb。这里涉及到奇回文和偶回文，奇回文指回文串的字符数是奇数，偶回文指回文串的字符数是偶数。前面举的abcdcba就是奇回文，bbaabb就是偶回文。判断一个字符串是否是回文串很简单，只要从字符串的两端开始往中间扫描，全部匹配成功则是回文串，只要有一次匹配失败，那么就不是回文串。代码如下
// 没有对字符串为null或者空串的返回值进行考虑static boolean Palindrome(String s){ for(int i = 0, j = s.length()-1; i < j; i , j--){ if(s.charAt(i) != s.charAt(j)){ return false; } } return true;}
在我们了解回文串内容后，如果给你一个字符串，你能不能得到该字符串中的最长回文串呢？
最长回文串简单的解法就是暴力匹配法，依次判断所有字符数大于1个的子串是否回文串，并记录最长的那个回文串。如acbc字符串，得到字符数大于1的子串ac、cb、bc；acb、cbc；acbc，其中cbc是最长回文串。虽然暴力匹配法思路清晰、代码简单，但是如果字符串长度较长时，那么子串的数量是很庞大的，对于一个长度为n的字符串，它的子串有n(n-1)/2个，加上判断子串是否为回文串的时间复杂度是O(n)，所以最终总的时间复杂度是O(n^3)左右。暴力匹配留给大家自行编写代码，博主就偷个懒不写了。
中心扩散法是另一种回文串解决方法，算法思路是从字符串的第一个字符一直遍历到最后一个字符，每次从该字符往两边扫描，如果左右两边的值相等，那么往左右两边拓展，直至左右两边的值不相等或者越界，扫描结束，记录此时的左右边界下标，并且记录此时的回文串长度。该方法的时间消耗主要是遍历字符串的每个字符，以及每个字符需要向两边拓展扩散，所以总的时间复杂度为O(n^2)。
图解：以下以abcfcbd字符串遍历到 f 字符进行图解，如下图。
1. 当遍历abcfcbd字符串的 f 字符时，先令left和right都指向 f 字符。
2. 往左右拓展，可以拓展，left往左移，right往右移
3. 可以拓展，继续移动
4. 不可以继续拓展，结束，记录left和right的位置
代码
public String longestPalindrome(String s) { int len = s.length(); if(len <= 1){ return s; } int max = 0; int[] index = new int[2]; for(int i = 0; i < len-1; i ){ // 考虑奇数回文还是偶数回文，所以分别计算以i为中心，以i和i 1为中心两种方式的回文串 int[] f1 = findSub(s, i, i); int[] f2 = findSub(s, i, i 1); int f1Len = f1[1] - f1[0]; int f2Len = f2[1] - f2[0]; // 如果以i为中心的奇回文串长度更长并且大于前面记录的最大回文串长度max，更新max // 如果以i和i 1为中心的偶回文串长度更长并且大于前面记录的最大回文串长度max，更新max if((f1Len > f2Len) && (f1Len > max)){ index[0] = f1[0]; index[1] = f1[1]; max = f1Len; }else if((f1Len <= f2Len) && (f2Len > max)){ index[0] = f2[0]; index[1] = f2[1]; max = f2Len; } } return s.substring(index[0], index[1] 1); } static int[] findSub(String s, int left, int right){ // 如果是偶数回文，left和right不等，需要判断一下left和right的值是否相等 if(s.charAt(left) != s.charAt(right)){ return new int[]{left 1, left 1}; } while((left >= 0) && (right <= s.length()-1) && (s.charAt(left) == s.charAt(right))){ left--; right ; } return new int[]{left 1, right-1}; }
Manacher算法是一种以O(n)时间复杂度得到最长回文串的算法，以该算法的发明者Manacher老先生名字命名。虽然该算法的解释网上较多，但是有点繁琐和难懂，博主尽量以自己小白的理解力详细地进行说明。我们接下来先说说Manacher算法的主要思想，它到底在哪里进行了优化？然后我们再上代码。接下来我们以dcbcdcbca字符串为例，请耐心阅读。
2.3.1. 对字符串dcbcdcbca先预处理。
在每个字符两旁插入分割符，可以是任意字符，因为博主一开始也觉得分隔符不能是字符串中出现的字符，那这里选取'a'字符作为分割符进行证明，预处理后得到如下字符串str2。
2.3.2. 记录每个字符的回文半径
遍历每个字符时，将每个字符可以向左右两边拓展的长度称为回文半径，使用val数组记录回文半径。则str2的第1个字符到第13个字符回文半径数据值如下图所示。
2.3.3 Manacher算法的优化之处
其实计算str2的第1个字符到第13个字符回文半径时Manacher也有优化，只是接下来更好讲解，所以现在分析。
当扫描到str2的第10个字符d时，此时的回文字符串是acabacadacabaca，如下图所示。
接下来我们要计算str2的第14个字符 b，正常情况下，我们以b为中心向两边拓展；Manacher算法的强大就是在此处进行了优化。
因为b处在axis和right之间，我们可以看看str2第14个b字符关于axis对称的第6个b字符它的回文半径是多少，为什么可以这样呢？
接下来看图解吧，原本以为自己理解了很好描述，但现在发现自己理解而已，要想描述清楚还是有点难，大家看看图解吧！
1. 步骤1
2. 步骤2
3. 步骤3
总结：Manacher算法进行优化的部分主要有两点：①字符串预处理，添加分割符；②利用回文串的对称信息，避免重复计算回文半径。
看来这种算法还是有些难描述的，大家见谅，还是只能多花点时间去消化，Manacher算法最重要一点就是利用对称信息。
代码
public String longestPalindrome(String s) { int len = s.length(); int newLen = 2 * len 1; // 字符串预处理，得到填充分隔符后的字符数组 char[] newStr = new char[newLen]; for(int i = 0; i < len; i ){ newStr[2*i] = 'a'; newStr[2*i 1] = s.charAt(i); } newStr[newLen-1] = 'a'; // ans是最长回文串的回文半径，ansIndex是最长回文串的对称中心 int[] val = new int[newLen]; int axis = 0; int right = 0; int ans = 0; int ansIndex = 0; for(int i = 0; i < newLen; i ){ // 如果当前遍历字符处于回文串的最远边界内，那么可以利用对称信息 if(i < right){ val[i] = Math.min(val[2*axis-i], right-i 1); }else{ val[i] = 1; } // 没有越界，并且回文串向左右拓展成功，那么回文半径加1 while(i-val[i] >= 0 && i val[i] < newLen && newStr[i-val[i]] == newStr[i val[i]]){ val[i] ; } // 如果当前遍历字符的边界大于记录的最远边界，更新回文串的最远边界 if(i val[i]-1 > right){ right = i val[i]-1; axis = i; } // 记录最长回文串的回文半径和对称中心 if(val[i] > ans){ ans = val[i]; ansIndex = i; } } StringBuilder sb = new StringBuilder(); for(int i = ansIndex-ans 1; i < ansIndex ans-1; i ){ sb.append(newStr[ i]); } return sb.toString(); }
以下是力扣的运行结果
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