1、
在开始这篇文章之前，我们先来讲一讲e和π到底是什么东西？
首先，π这个内容我们小学五年级就有接触了，当时的我们对圆的面积和周长公式有了初步的了解，圆的面积公式是
周长公式是
我们在当时学的时候看下来好像就是两个公式，但是现在再看的话我们会发现一个神奇的现象，即
为什么会是这样呢，其实也很直观，当半径有一个增加量dr时，圆面积的增加量为
将式子化简可得
将dr提出来，得
所以
因为dr趋近于0，后面一项可以忽略，所以
扯有点远了。总之，π的定义就是一个圆的周长和直径的比值，将适用范围扩展一下，就是弧度制的定义了，即弧长和半径的比值。
至于e的定义就比π要复杂多了，e有两种定义方法。一种就是大名鼎鼎的极限定义法，即
其实还有一种，就是我们在观察指数函数的导数的时候会发现其每一点的导数值和函数值都呈一个等比例的关系，例如2^x的导数值和函数值的比值约为0.69（如图）
那么e的另一种定义方式就是以其为底的指数函数的导数值和函数值的比值为1。
所以，一个和圆有关，一个和微积分有关，这能有啥关系？
2、
我们来看看这样一个函数：y=e^(-x^2)，它的图像长这样：
对统计学有了解的同学应该对这个图像有一定的敏感度，这就是大名鼎鼎的正态分布曲线。
什么是正态分布？我这里举一个很简单的例子：中学的时候你的老师每次考试完都会算班级平均分，例如100分的卷子，从0到100分的人都有，且平均分为50分，接近50分的人最多，0分和100分的人最少，我们会发现如果绘制一条分布曲线的话，差不多就长这样。
既然是分布曲线，那么曲线下的面积就显得格外重要了，这样才好对统计对象的数量进行调整，例如一个班里有100个人，我们就可以在e^(-x^2)前面加一个系数将人数进行调整。因为很显然我们可以猜到，e^(-x^2)曲线下的面积应该不是100。
3、
那么正态分布曲线下的面积到底是多少呢？首先，这个曲线下面积的表达式为
所以我们要求面积的话就等同于求这个积分式的值。
当然，我们也可以用常规的方法先试试，也就是用我所谓的微积分乘法法则的逆法则公式（不熟悉的同学可以参考我的上一篇文章《这个东西和π有啥关系？》），也就是
如果你真的要用这个方法上手去尝试，你会发现你只能把u和v拆成1和e^(-x^2)，最终你会发现你还是会把运算搞得越来越复杂，且没有周期可寻。
当然，如果用一个公式就能解决问题的话，那这个问题更适合出现在AP的微积分课本里，而不是这篇文章中。
那么这个函数的积分到底是什么呢，我们再次使用WolframeAlpha来找到答案，得出的结果为
跟上一篇文章《这个东西和π有啥关系》一样，我们得到了一个由特殊符号erf表示的函数，那这个函数是什么呢？它的表达式为
中文叫做误差函数。
那么将这个式子乘上前面的系数，结果为
那么问题解决了吗？
完全没有！
如果你对微积分掌握比较熟练的话，你应该了解过一个叫做积分第二基本定理的东西，它的表达式是这样的
其中a为任意实数。
跟上面的结果一对照，你会发现上面那个结果把e^(-x^2)换成f(x)，这两个式子一模一样。所以我们并没有求出原函数的积分，只是换了一种表达方式。
4、
不过，我们实际要求的是曲线下的面积，换成表达式就是
的值。
如果我们直接去求曲线下面积的话，我们会发现无从下手，因为我们除了把一个面分成无数条竖线之外也没什么办法了。那么我们也可以用跟上篇文章一样的思路，将图形旋转180°，转化成三维图形，图像长这样
纵轴是z轴，那么这个图像的解析式变为
我们接着要求的就是这个图像下的体积。同样的思路，我们还是可以认为这个图像由无数个圆心为原点的空心圆柱体组成，接着我们还是只需要求出每个圆柱体的表面积然后相加就行了。也一样，这里研究x和y也并没有什么意义，所以我们设
r就表示一个点在水平方向到原点的距离，也是每个圆的半径。
原函数就变为
所以一个半径为r的圆柱体的表面积为
因为每个圆柱体实际上还有一个很薄的厚度，所以乘上dr
最后我们再把这些表面积的值都加起来，r从0取到无穷，所以就是从0积分积到无穷，列出式子则为
到这里，我们会惊奇地发现，原本不那么好积分的函数，在加上了一个2πr之后变得十分容易，因为
所以原式等于
这样问题就变得很简单了，易得积分结果为
将无穷和0带入做减法就能得到结果为π。
所以这个三维曲线下的体积就是π。
5、
但是问题还没结束，我们最终想要知道的是二维曲线下的面积。所以我们最后还需要将这个三维图形进行一个拆解。我们可以拿x轴和z轴形成的曲线的一个切面举例子，如图
这个切面上有无穷多个这样的钟形曲线，曲线峰值最大为1，最小能趋近到0，那么我们前面说过，这个三维曲线的表达式为
将其化简一下，得到
当y=0的时候，这个函数的峰值和e^(-y^2)的值相等，都为1。
所以这个切面上所有的钟形曲线的峰值都等于e^(-y^2)。
所以，这个切面上每个曲线下的面积都为
这里不涉及y，所以我们可以把e^(-y^2)拿出来，作为常数，得
但是由于e^(-y^2)本身也形成了一条钟形曲线，所以我们也要把所有e^(-y^2)的值加起来，即
这个东西，就是三维钟形曲线下的体积，我们算过了，等于π。
同时，如果再仔细看看的话，我们会发现这两个积分式除了表示变量的字母不一样之外，没有任何区别，所以
进而得
证毕。
6、
关于e和π之间微妙的关系，这只是其中的一个例子。关于e和π的联系我前面其实还用一篇文章介绍过，有兴趣的同学可以去看看我今年6月3号发的文章《硬核的欧拉公式证明》，还有今年7月1号发的文章《这东西和π有啥关系》中的证明也用到了e。可见e和π的联系是极其紧密的，而且远不止这些。
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