很久很久以前，人们就知道有一种数学概念叫作方程，方程中有已知系数和未知量。根据实际问题来建立一个可以解答的方程，解出未知量，实际问题就解决了。
关于方程问题，中国古代的很多数学典籍都有记载，如《孙子算经》中记载了鸡兔同笼问题就是一个利用列方程式解答的典型。
1608年，德国数学家罗特提出一个猜想：任意复数系的一元n次方程有且仅有n个复根，后来高斯证明了这一定理：代数基本定理，这也是方程论的中心定理，没有这个定理的加持，方程研究虚无缥缈。
关于解方程，在16世纪，塔尔塔利亚和卡尔丹诺因为三次、四次方程的公式解法掀起一场旷日持久的发明权大战。意大利数学家费罗最先得到没有二次项的三次方程解法，而这个解法也是那场持久争斗的开端，导致在17世纪，人们在任何数学手册上就可以找到三次、四次方程的根式解法，哪怕当时记录的解法异常复杂。当人们再继续推进多次方程根式解法时，却遭遇到了难以想象的困难。人们把之前所有的探索方式都在五次方程解法上用了个遍，无一例外都失败了，没有人知道为什么会失败，也没有人敢下结论到底有没有五次方程的根式解法。
拉格朗日曾经花了10年时间来研究这个问题。拉格朗日发现一元三次方程消去二次项后，经转换，在不考虑根的先后顺序时，每个y都可以写成特定的形式。每个解总是可以互换位置，而互不影响，通过变换次数和代数基本定理，他找到了y的解并得到一个结论：满足y的方程一定是一个y^3的二次方程，拉格朗日用同样的预解式来解决四次方程，发现这一套方法仍然有效。事实上，一般的四次方程假如仍然使用之前的代换，我们会得到一个辅助的三次方程，类似于三次方程的辅助方程与y^3的二次方程是一样的。
鉴于前两次的成功，他认为一般的n次方程在求解过程中，所有容许根的个数就是n！个，三次、四次符合，那么五次也应该符合。并且按照正常套路五次方程的辅助方程会是一个四次方程，只要这样依次递降，总可以用根式的方式来表示这些方程最终的解，哪怕这个方程的根式解极度复杂，难以表示。然而，他在研究了五次方程预解函数之后，发现五次方程的辅助方程居然会变成六次，五次都没解出来，居然还冒出个六次来，一点都不像三次、四次方程那样逐级降次，很显然这条路是走不通的。拉格朗日也始终没有找到合适的五次方程的预解方程，也就是说他失败了。拉格朗日被迫承认了下面这个事实：五次方程看起来是没有根式解的。
约瑟夫·拉格朗日
拉格朗日这样的大神在五次方程根式解的探索上都如此挫败，足以看出这个问题的难度有多大。不过，拉格朗日的思路却着实影响了许多后来在这个问题上有过突出贡献的数学家们，比如阿贝尔，鲁菲尼，伽罗瓦等等。拉格朗日没有在五次方程这个问题取得圆满成就，但是他在其他领域的研究都是非常精彩的。比如，前面说的分析力学，他是分析力学的开创者，同时又是天体力学的奠基人。他找出过三体问题的五个特解，天文学上还有拉格朗日点这个术语，星际探测器只要很少的燃料就可以在这个点附近长期逗留，这个点对于人类探测星空有很大意义。在数学上，他除了变分法和方程论，在函数论、微分方程论和数论上都有极大成就。
拉格朗日点
拉格朗日的事例深深地告诉了我们一个事实，即使你是天外飞仙的大神，也总会遇到一些你解不开的难题。比如莱布尼茨解不开的巴塞尔猜想被欧拉解决了，欧拉解不开的四平方猜想被拉格朗日解决了，拉格朗日解不开的五次方程问题被伽罗瓦解决了。虽有力不能及，但是这些从来都不会影响他们的伟大。
文 | 锁少磊
排版 | 方恩辉
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