多元函数的条件极值和拉格朗日乘数法

、条件极值、拉格朗日乘数法

1. 转化为无条件极值

在讨论多元函数极值问题时，如果遇到除了在定义域中寻求驻点（可能的极值点）外，对自变量再无别的限制条件，我们称这类问题为函数的无条件极值。如求

的极值，就是无条件极值问题。

然而在实际中，我们也会遇到另一类问题。 比如，讨论表面积为

的长方体的最大体积问题。若设长方体的三度为

, 则体积

，同时应满足

于是我们的问题的数学含义就是：当自变量

满足条件

下取何值时能使函数

取得最大值。（这里我们暂不论证指出这个最大值就是极大值）。

一般抽象出来，可表为如下形式：

即函数

在条件

下的取极大（小）值问题。今后，我们称这种问题为

函数的条件极值问题。 对自变量有附加条件的极值称为条件极值。 一般称

为目标函数，

为约束条件 ( 或约束方程 ) 。

对于有些实际问题 , 可以把条件极值问题化为无条件极值问题。

例如上述问题 , 由条件

, 解得

, 于是得 V

.

只需求 V 的无条件极值问题。

例 6 求函数

在约束条件

下的条件极值。
解 由约束条件

可解出

代入目标函数，有：

  

令

得驻点

   由于当

时，

，当

时，

  

在

时取极大值，
   又当

时，由约束条件可解出

，

   而

，此例说明条件极值可有如下一种解法： 
如果能从约束方程中解出一个自变量，代入目标函数后，就可转化为无条件极值。

通过讨论无条件极值可得问题的解答。但在很多实际问题中，往往不容易从约束条件中解出一个自变量，从而上述方法就失效了。因此，对条件极值我们应讨论一般解法。

2. 关于条件极值的 拉格朗日乘数法

在很多情形下 , 将条件极值化为无条件极值并不容易。 需要另一种求条件极值的专用方法 , 这就是拉格朗日乘数法。

拉格朗日乘数法： 要找函数 z = f ( x , y ) 在条件 j ( x , y ) = 0 下的可能极值点 , 可以先构成辅助函数 F ( x , y ) = f ( x , y ) + lj ( x , y ) , 其中 l 为某一常数。

然后解方程组

.

由这方程组解出 x , y 及 l , 则其中 ( x , y ) 就是所要求的可能的极值点。

一般称 F ( x , y ) = f ( x , y ) + lj ( x , y ) 为拉格朗日函数，待定常数λ称为拉格朗日乘数
归纳上述讨论过程，可得拉格朗日乘数法如下：
欲求函数

满足约束条件

的极值，一般步骤为：
（ 1 ）构造拉格朗日函数 F ( x , y ) = f ( x , y ) + lj ( x , y ) ;
（ 2 ）建立偏导数方程组

（ 3 ）解此方程组的解，可得可能的极值点

例 7 将正数 12 分成三个正数

之和 使得

为最大 .

令

, 则

解得唯一驻点

，

故最大值为

这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。

至于如何确定所求的点是否是极值点 , 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。

例 8 求表面积为 a 2 而体积为最大的长方体的体积 .

解 设长方体的三棱的长为 x , y , z , 则问题就是在条件 2( xy + yz + xz ) = a 2 下

求函数 V = xyz 的最大值。

构成辅助函数 F ( x , y , z ) = xyz + l (2 xy + 2 yz + 2 xz - a 2 ) ,

解方程组

,

得

, 这是唯一可能的极值点。

因为由问题本身可知最大值一定存在 , 所以最大值就在这个可能的值点处取得。

此时

.

思考题：若

及

在

点均取得极值，则

在点

是否也取得极值？

五、小结

1 、 多元函数的极值

2 、（取得极值的必要条件、充分条件）

3 、多元函数的最值

4 、拉格朗日乘数法

六、作业

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