数论之二项式

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二项式是只有两项构成的代数式，如

。数学家对二项式取幂后的各项系数研究甚广，并把它们命名为二项式系数。

对二项式系数，有一个通用记号：

利用二项式系数，

的展开式形如

可以利用

探索二项式系数的规律，可以发现如下定理。

定理 (二项式系数的加法公式) 设

为整数，则

对于二项式，有以下著名的二项式定理。

定理 (二项式定理) 展开式

中的二项式系数如下确定：

在数论里，对二项式系数模p运算,p为素数，有如下定理。

定理 (模p二项式定理) 设p为素数。

(a) 二项式系数

同余于

(b)对任意数A,B, 有

可以利用定理的(b)证明费马小定理。

定理 (费马小定理) 设p为素数, a为满足

的任一数,则

归纳证明 先用归纳法证明公式

对所有数a都成立。

显然上式对a=0成立，接下来假设上式对某个特定的值a成立，则

对A = a和B = 1应用模p二项式定理,

由归纳假设

.

这就完成了公式

的归纳证明。

这意味着p整除

，因此

因为由假设p不整除a，故可得

,

这就完成了费马小定理的证明。