余弦定理是揭示三角形边、角之间定量关系的重要定理,它将三角形的边和角有机的结合起来,是解决有关三角形问题的有力工具。有了余弦定理,求边求角求射影都很方便。那么,余弦定理怎么证明呢?
接下来我们先介绍几个无字证明,再看一个简单证明。
第一个无字证明。图很漂亮,让人想起欧几里得证明勾股定理的图形。这张图含蓄有韵味,请大家细品。
这张图就浅显直白,观众不费脑。就像白居易的诗,老妪能解。图形标注很清楚,一下子就把余弦定理和盘托出。
由射影定理可知,三角形ABC的三边被三个垂足分为两段,即:
a=c·cosB + b·cosC
b=c·cosA + a·cosC
c=b·cosA +a·cosB
我们设底边为a,两条腰是b和c,那么等式①的意思是:两腰在底边上的射影之和等于底边。
三边上的三条高线把三个正方形划分为六个矩形,这六个矩形颜色相同的面积相等,也就证明了图形写出来的余弦定理。
把上面的三个等式两边同时乘以a(或左边的b或c)即得:
a²=ac·cosB + ab·cosC
b²=bc·cosA + ba·cosC
c²=cb·cosA +ca·cosB
等式的左边是三个正方形的面积,右边就是六个矩形的面积。
这个无字证明可谓直截了当,不留余地。
再看两个无字证明。
这张图所示是钝角三角形的情形。
这张图来自微博,构思巧妙,不易想到。上方小三角形是原三角形,放大a,b,c倍后,拼成下面的图形。
图形是以角A的主观镜头的方式来呈现的,所以标注了角A,角B和角C是配角,所以分别用叉和圈来标注。图上可以直观得到余弦定理,所以称为无字证明。
顺便说一下,矩形一条边长为b²+c²,另外一边长为bc sin A。
最后,我们来看一个余弦定理的简单证明。如图所示,可以用勾股定理和三角函数的概念来简证余弦定理。
由勾股定理可得:
a²=(c-bcosA)²+(bsinA)²
=c²-2bccosA+b²cos²A+b²sin²A
=c²-2bccosA+b²(cos²A+sin²A)
=c²+b²-2bccosA
这个证明通俗易懂,容易被学生接受。顺便说一下,上面的图很漂亮,下面这个图更简单,但是也足以说明问题了。
把上面的证明原封不动的照抄一遍,就证明了余弦定理。
欧拉对近代三角学的发展作出了杰出的贡献。他创用大写字母A,B,C表示三角形的三个角,小写字母a,b,c表示三个角的对边,现在早已经成为数学世界人人遵守的规定。他引入坐标系中的单位圆,用半径和函数线的比定义三角函数。欧拉的定义极为科学,并大大简化了三角公式,极大地促进了三角学的发展。
根据欧拉的定义,半径在x轴的射影是cos α,在y轴的射影是sin α,由勾股定理可得:
sin² α + cos² α =1
这是一个非常重要的三角恒等式,α为任意实数都成立。
科学尚未普及,媒体还需努力。感谢阅读,再见。
联系客服