全等三角形问题中最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等,本节来介绍下在全等三角形中常见的几种辅助线的作法:
图中有角平分线,可向两边作垂线。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
线段计算和与差,巧用截长补短法。
三角形里有中线,延长中线至两倍。
在作辅助线的时候要注意以下两点:
①在原图形中作辅助线要用“虚线” ;②在证明过程中要描述添加方法 。
一、用角平分线的性质构造全等
例1、如图,在梯形 ABCD 中, ∠A= ∠D =90°, BE、CE 分别是∠B 和 ∠C 的角平分线 。
求证:BC= AB + CD。
例题1图
证明:过点 E 作 EF⊥BC ,垂足为点 F
∵ BE 是 ∠B 的角平分线 ,∠EFB = ∠A = 90°
∴ EF = AE
在 △EFB 和 △EAB 中
∵ ∠EFB = ∠A = 90° ,EF = AE ,EB = EB
∴ △EFB ≌ △EAB (HL)
∴ BF = BA
同理可证 : CF = CD
∴ BC = CF + BF = AB + CD
二、连接法
例题2、如图,在五边形 ABCDE中,点 M 是 CD 的中点, AB = AE , BC = ED , AM⊥CD 。
求证:∠B = ∠E 。
例题2图
证明:连接 AC , AD
∵ 点 M 是 CD 的中点 ,AM⊥CD
∴ AC = AD
在 △ABC 和 △AED 中
∵ AB = AE , BC = ED,AC = AD
∴ △ABC ≌ △AED (SSS)
∴ ∠B = ∠E
三、用“截长法”或“补短法”构造全等三角形
例题3、如图,在△ABC中, AD是∠BAC的角平分线, ∠C = 2∠B 。
求证:AB = AC + CD 。
例题3图
证明:
方法一、截长法
在线段 AB 上取点 E , 使得 AE = AC , 连接 ED
∵ AD是∠BAC的角平分线
∴ ∠EAD = ∠CAD
在 △EAD 和 △CAD 中
∵ AE = AC , ∠EAD = ∠CAD ,AD = AD
∴ △EAD ≌ △CAD
∴ ED = CD , ∠AED = ∠ACD
又 ∵ ∠AED = ∠B + ∠EDB (三角形外角和定理),∠ACD = 2∠B
∴ ∠B + ∠EDB = 2∠B (等量代换)
∴ ∠B = ∠EDB
∴ BE = ED (等角对等边)
又∵AB = AE + EB
∴ AB = AC + CD (等量代换)
方法二、补短法
延长线段 AC 至点 F ,使 CF = CD ,连接 DF
略证:
由 ∠ACB = 2∠B = ∠CDF + ∠F , ∠CDF = ∠F
可得 ∠B = ∠F
在证 △ABD ≌ △AFD (AAS)
可得 AB = AF
而 AF = AC + CF = AC + CD
即证 AB = AC + CD
注:遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,常用此方法 。
四、倍长中线法构造全等三角形
例题4、如图,在 △ABC 中, AD是线段 BC 边上的中线 。
求证 : AD <>1/2 ( AB + AC ) 。
例题4图
证明:延长 AD 到点 E,使 DE= AD,连结CE
∵ AD是线段 BC 边上的中线
∴ BD = CD
在 △ADB 和 △EDC 中
∵ BD = CD ,∠BDA = ∠CDE ,AD = ED
∴ △ADB ≌ △EDC (SAS)
∴ AB = EC
在 △AEC 中
∵ EC + AC > AE (三角形中两边之和大于第三边)
又∵ AE = 2AD
∴ AB + AC > 2AD
即证 : AD <>1/2 ( AB + AC )
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