极速理解线性代数

本课程是专栏《20堂课极速理解线性代数》的精华凝炼图文版，10堂课帮助您真正从直观角度理解、消化、吸收线性代数的核心概念与核心算法。

我们理解了维度的概念，也通过占位法理解了矩阵乘法对于维度的变换作用，今天我们深入地结合“方法x对象”理念来进一步理解。

从熟悉的例子入手

这是之前的例子，二维方阵乘以二维方阵，结果仍然是二维方阵。

这是等维变换。

降维变换

还有不等维的变换，比如：

整理一下：

B是二维的，A是4维的，相乘结果得到的C是二维。

相当于，把4维的信息，整合到了2维，降维了。

降维变换，实际上是高维向低维的投影，信息极可能是损失了的。

升维变换

还是上面这个例子，如果想提取5个方面的能力呢？

得到了5维信息的C，把4维的信息，整合到了5维，升维了。

升维变换，实际上是低维向高维的扩展，信息极可能是增加了的。

信息空间

空间的坍塌

矩阵乘法导致维度变换的极端情况，就是空间的坍塌，也就是说——

维度给乘没了！

例如：

可视化让结果非常的明显，对象A，在进行了方法B之后，成为了一个坍塌到一条线上的矩阵，已经看不出平行四边形的面貌了。

用矩阵来表示的空间的基重叠了，二维空间坍塌成了一维空间！

所以说：

B矩阵是一个坏矩阵——

奇异矩阵。

矩阵的秩

初学秩的时候，总觉得特别怪，为什么起了个这个名字。