欧几里得的《几何原本》提出了五条公理,第五条公理为:同一平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角的和小于两直角,则这两直线经无限延长后在这一侧相交。第五公理文字叙述冗长,不那么显而易见。欧几里得几何学,雄视数学界两千年,没有人能动摇它的权威。但后来人们对第五公理表示怀疑,一些数学家提出,第五公理能不能不作为公理,而作为定理?能不能依靠其他公理来证明第五公理?这就是几何发展史上争论了长达两千多年的“平行线理论”的讨论。
拉格朗日到18世纪时,瑞士几何学家数学家兰贝尔特(1728—1777)、法国著名的数学家勒让德(1752—1833)和拉格朗日(1736—1813)等人,都在这个问题上花费了大量的精力,然而他们都没有成功。这个问题像无底深渊一样,无情地吞噬着数学家们的智慧,而不给予他们任何报酬。俄国数学家罗巴切夫斯基(1792—1856)于1815年开始研究平行线问题,一开始他也想走证明第五公理的老路,到1823年时,他认识到以前所有的证明都是错误的。1826年,他发表论文声明第五公理不可证明,并且采用了相反的公理:'通过不在直线上的一点,至少可以引两条直线平行于已知直线'。从这个新公理和其余的公理出发,他终于建立了一种的非欧几何学。这一新学科在天文学和宇宙论中得到了应用。罗巴切夫斯基被誉为“几何学中的哥白尼”。
罗巴切夫斯基在试证第五公理的浪潮中,德国著名数学家高斯也卷在其中。他总结了1000多年来试证失败的教训,改变了原来的论题,即由'欧氏第五公理可证'改为'欧氏第五公理不可证',结果证明后一结论是正确的。他逐渐得出革命性的结论︰确实存在这样的几何学,其内部相容并且没有矛盾。他从中发现了一门新的几何学——非欧几何学。就是说,高斯比罗巴切夫斯基更早些。但是,高斯把自己的发现隐藏起来了,他在非欧几何方面论著最多,但没有公诸于世,因为他的观点与同代人的观点相背,他不敢发表,怕引起庸人的叫喊和嘲讽,结果至死未敢公开发表这一研究成果,也就失去了“几何学中的哥白尼”的桂冠。
高斯胆怯是缺乏自信心的表现,过于谨慎就会优柔寡断,丧失良机。对待世俗同样需要有一种勇气,要大胆地走自己的路,让别人去嚼舌吧。
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