意译法——解题的重要方法
撰文/大罕
虽然直译法是数学解题中最直接的最基本的方法，但它并不能“包打天下”.意译法，也称为转化法或化归法，它指将题设的条件或结论加以转化从而获解.这是一种间接的方法，迂回包抄，起伏跌宕，出奇制胜，也是一种常用的重要的方法.
转化可以从各种方向考虑，为达目的而不择手段.
一、从几何方向考虑，有图像法：转化为几何意义，利用图形的直观性.
例1如果2x+5y≥1，求函数f(x,y)=x2+y2+4x-2y的最小值.
分析:不等式2x+5y≥1的几何意义是平面直角坐标系中位于直线2x+5y=1右上方的半平面区域（包含边界），
f(x,y)=(x+2)2+(y-1)2表示此区域内的点(x,y)到定点(-2,1)的距离，
要求函数f(x,y)的最小值，就是要求定点(-2,1)到边界直线2x+5y=1的距离.
二、从代数方向考虑，有变换命题法:通过转变视角，使问题清沏见底.
例2已知函数y=lg(1+2x+a.4x)/7在(-∞,1]上有意义，求a的范围.
分析：将问题转化为1+2x+a.4x>0在(-∞,1]上恒成立，即a>-[(1/2)x+(1/4)x]对(-∞,1]恒成立，
此式的右边视是关于x的函数，可设g(x)= -[(1/2)x+(1/4)x]，
问题又转化为求函数g(x)的最大值，a只需大于g(x)的最大值即可，
而g(x)在(-∞,1]上是增函数，所以g(x)max= g(1)=-3/4
∴ a>-3/4为所求.
例3 对于任意的a∈[-1,1]，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a恒大于零，求x的范围.
分析：本题已知参变量a的范围，求自变量x的范围，一反常态，令人颇为棘手.不妨反客为主，将函数以a为线索重新整理，有f(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+(x2-4x+4),
即g(a)= (x-2)a+(x2-4x+4) a[-1，1],
函数g(a)（a∈[-1,1]）表示一条线段，
要求g(a)在区间[-1,1]恒大于0，只需g(-1)>0,g(1)>0,
∴ (x-2)(-1)+( x2-4x+4))>0, 且(x-2)+(x2-4x+4))>0,
∴解得x<1，或x>3.
三、从三角方向考虑，有换元法:通过三角换元简捷地解决问题.
例4已知x,y满足(x-2)2/4+(y-1)2=1，则(x+1)/y的最小值是 .
分析：本题条件形如cos2α+sin2α=1，因此可考虑换元，
令x=2+2cosα ，y=1+sinα , 则(x+1)/y=(3+2cosα)/ (1+sinα) ，
第二次换元，令m=(3+2cosα)/ (1+sinα),
则m(1+sinα)=3+2cosα,
∴√(m2+4)sin(α-θ)= 3-m（θ是辅助角）,
∴sin(α-θ)= (3-m)/√(m2+4),
∴|(3-m)/√(m2+4)| ≤1,
解得m≥5/6，所以(x+1)/y的最小值是5/6.
此可谓：
直译失效转意译，
巧妙化归显神力．
命题等价形式变，
一旦突破皆双喜．
以下题目可供练习:
1.已知x,y满足(x-1)2+(y+2)2=20，则x2+y2的取范围是 ．
2.若点P(x,y)满足x2+y2=4，则a+b最大值是 ．
3.若3x+4y=5，则(x-2)2+(y-1)2最小值为 ．
4.在直线2x-y-5=0上求一点M,使它到点A(-7,1), B(-5,5)的距离之和最小，求点的坐标．
5.已知a,b,c为直角三角形三边边长，c为斜边，点(m,n)在直线ax+by+2c=0上，则m2+n2的最小值是 ．
