对条件概率的几点认识
发表于2012年12期《中小学数学》
广东省佛山市南海中学 jane
条件概率是高中概率教学的一个难点，因为其有着深刻的高等数学背景，深入思考需要追溯到大学的概率统计。在教学过程中，笔者发现很多老师对条件概率的理解不是很清晰，学生学习条件概率也存在很多困惑。结合自己的教学体会，笔者想从条件概率的公式推导、条件概率与积事件概率的区别、条件概率计算方法这三个方面重新审视条件概率，加深对它的认识。
1 对公式推导的深层解读
高中教材的引入：（1）探究 三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小。（2）思考 如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？
条件概率是比较难理解的概念，教科书利用“抽奖”这一典型实例，以无放回抽取奖券的方式，通过比较抽奖前和在第一名同学没有中奖的条件下，最后一名同学中奖的概率，从而引入条件概率的概念。接下来推导条件概率的计算，教科书先采用缩小基本事件范围的方法：“已知第一名同学没有抽到中奖奖券”，该条件相当于缩小了基本事件的范围，在没有这个条件的限制下，有六个基本事件。而在这个条件限制下，只可能出现四个基本事件。从而推导出
。对这种方法的理解，我们可以借助集合，反映样本空间的变化。 若事件A已发生，则为使B也发生，试验结果必须是既在A中又在B中的样本点，即此点必属于AB。在这种观点下，原来的基本事件全体S缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB。
公式
是以古典概型为前提的，不适用于其他的概率模型，但其思想方法可以推广。比如，几何概型。如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE阴影内”，求
。 如何把上面计算
的思想用于其他的概率模型中？以得到更为一般的与计数无关的公式呢？进而引入条件概率的定义：。而这个定义又正好为后面相互独立事件的定义奠定基础。
2 条件概率与积事件概率的区别
学习中，学生很容易将条件概率
与积事件概率混淆。在面临一个实际问题的处理时，学生往往把握不准该用条件概率还是积事件概率。笔者在讲授人教版2-3（53）页的例2时，就有学生提出了疑问。例2一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0~9中任选一个。某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
（1） 任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
（2） 如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。
【质疑】第一问，我们将其分为第一次就按对和第二次才按对两类，即
，但是不少学生提出质疑，“第二次才按对”就是指“在第一次按错的条件下，第二次按对，应该用条件概率来求。”【解惑】这些学生的想法是在第一次按错的条件下，求第二次按对的概率，他们缩小了样本空间的范围。事实上，第一次按错的概率是
，而。我们要求第二次才按对的概率，既要考虑第一次按错的概率，又要考虑在第一按错后第二次按对的概率，这是一个整体，所以应该把两个式子相乘，即，其结果刚好是。从样本空间的角度看，这两种事件所对应的样本空间发生了改变。求时，仍在原来的样本空间中进行讨论。而求时，所考虑的样本空间就不是了。这是因为前提条件中已经知道事件A发生了，新的样本空间缩小为A。因此，积事件“”与事件“”是两种截然不同的事件，但它们之间也有一定的联系，概率的乘法公式揭示了这个联系：
3 计算条件概率的方法
3.1 方法的灵活选择
具体运用条件概率的时候，很多学生在计算方法的选择上往往举棋不定。一般来讲，计算条件概率有两种基本的方法：（1）定义法
；（2）缩小基本事件范围的方法。方法一较通用，方法二运用时较灵活。以书本的一道习题为例说明：例 从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第一次抽到A，求第二次也抽到A的概率。
解析：记“第一次抽到A”为事件A，“第二次抽到A”为事件B。
本题若采用定义法，紧扣公式
。若采用缩小基本事件范围的方法，则有两种做法：
（1）用公式
，通过乘法原理来求和，其中要按两次来算。（2）缩小范围后按照古典概型直接计算。在第一次抽到A的条件下，扑克牌中仅剩下51张牌，其中有3张A，所以在第一次抽到A的条件下第二次也抽到A的概率为
。后者笔者称为“直接法”，在解答条件概率时简便易算。教学中我们应引导学生从不同的角度求解条件概率，鼓励用“直接法”尝试，不局限于死板的套公式。
3.2 典型题目
（1）存在包含关系的两事件
（2010湛江模拟）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只走一个景点，设事件A=“三个人去的景点不同”，B=“甲独自去一个景点”，则概率
（ ）A、
B、 C、 D、解析：依题意
，所以。而，。 所以
评析：对于存在包含关系的两事件，求积事件时要注意转化。比如，下面这道“动物的寿命问题”也是类似方法。
某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的动物，问它能活到25岁的概率是多少？
（2）全概率公式
（2010安徽）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以
和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件。再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件。则下列结论中正确的是_______（写出所有正确结论的编号）①
； ②； ③事件与事件相互独立；④
是两两互斥的事件； ⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关。 【答案】②④其中学生容易出错的是
，不知道其概率值能否确定。看起来选项⑤好像有道理！事实上，求需要对甲罐中取出的球进行分解，也就是大学教材中的全概率公式
很多有着高等数学背景的高中数学知识，都是学生学习的一个难点。因为中学教材呈现给学生的只能是“掐头去尾”后的表面部分，从概念的引入开始，编者要尽量去掉大学课本中的抽象理论，用贴近生活实际的问题情境来引入。而后续的展开也只能是“点到即止”。比如，条件概率，中学教材只限于公式的推导，会用定义法和缩小基本事件范围的方法来计算，能区分条件概率和积事件概率，而跟条件概率相关的概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式则不在学习范围之内。但是，现在的高考命题又常常考在“与高等数学衔接处”，如2010安徽理，因此，我们的教学要把握好这个度，在尊重考纲的前提下适度扩展，重视概念教学，掌握基本方法，疑难点处讲清讲透。
