[转载]几道“在给定区间上有零点”问题的多种解法

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几道“在给定区间上有零点”问题的多种解法

函数y=f(x)在给定区间上有零点，这样的问题对学生来说不好做，为什么？从字面上理解，大致有三个原因：（1）函数f(x)的类型不定，有可选余地，解析式中还可能含有参数；（2）区间给定，即是对零点的活动范围做了限制；（3）有零点，但没说几个，则至少应该有1个，涉及分类讨论．以下举例说明，并对此类问题给出多种解法．

 

此题中的f(x)是二次函数．解法1讨论了对称轴与区间的位置关系，这是二次函数的永恒话题；解法2从“有”字入手，以零点的个数为标准展开讨论，有条不紊，但“仅有一个零点”时需要检验；解法3结合f(x)的图象正难则反，显得异常简洁，But这是建立在“一正一负根”的基础上进行的，并非通法；解法4用求根公式解出零点，将问题转化为无理不等式的求解，有时继续进行会很困难，只是此题碰巧较易；解法5体现了函数与方程的思想，函数y=f(x)有零点等价于方程f(x)=0有解，然后参变量分离，又将问题转化为函数值域的求解，从而避去了分类讨论，这是处理“有零点问题”的常用方法．

 

有学生问我：是不是用“参变量分离”处理“有零点”、“有解”问题特别有效？

我说：也不尽然，有效得有两个前提：①参量与变量容易实现分离；②分离后函数的值域易求．若参量与变量死死纠缠在一起，何谈分离？若分离后的函数极其复杂，值域的求解又成难事！

学生说：哦，是的．

我进一步说：每一种方法都有其适用范围和独特功效，技多不压身，尽量多掌握几种方法，练习或考试时可供备选，这也是培养你从多角度分析、审视、求解问题，大有益处．

学生：谢谢老师！

 

好友“园丁的平方”的博客里也有一道零点问题的多种求解，链接粘贴到这里，分享给朋友们：http://blog.sina.com.cn/s/blog_d7f6c5a90102vc43.html 《一道零点小题的多解》

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