22同114－18参考答案

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问：

参考例题

题目：

在△ABC中,AB=AC,点D在直线BC上(不与点B,C重合).

(1)线段AD绕点A按逆时针方向旋转，且起始位置AD和终止位置AE所成的∠DAE=∠BAC，连接DE、CE，探索∠BCE与∠BAC的数量关系，并加以证明；

(2)若线段AD绕点A按顺时针反向旋转，且起始位置AD和终止位置AE所成的角∠DAE=∠BAC，连接DE、BE，探索∠EBC与∠BAC的数量关系，并且加以证明。

考点：

[旋转的性质]

分析：

（1）分类讨论：当点D在线段BC上，如图1（a），根据旋转的性质得AD=AE，再由∠DAE=∠BAC得到∠BAD=∠CAE，则可根据“SAS”判定△ABD≌△ACE，得到∠ABC=∠ACE，而∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABC，∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，于是得到∠BCE+∠ABC=180°；
当点D在BC的延长线上，如图1（b），同样可证明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，同样可得∠BCE+∠ABC=180°；
当点D在CB的延长线上，如图1（c），同样可证明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，根据三角形外角性质得∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠ACB+∠BCE，所以∠BCE=∠BAC；
综上所述，∠BCE与∠BAC相等或互补；
（2）分类讨论：当点D在线段BC上，如图2（a），利用”SAS”证明△ACD≌△ABE，得到∠ACD=∠ABE，由三角形外角性质得∠EBC=∠ABE+∠ABC，
则∠EBC=∠ABC+∠ACB，而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，所以∠EBC+∠BAC=180°；
当点D在BC的延长线上，如图2（b），同样可证明△ABE≌△ACD，得到∠ABE=∠ACD，根据三角形外角性质得∠ABE=∠ABC+∠EBC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
所以∠EBC=∠BAC；
当点D在CB的延长线上，如图2（c），同样可证明△ABE≌△ACD，得到∠ABE=∠ACD，同样得到∠EBC+∠BAC=180°．
综上所述，∠EBC与∠BAC相等或互补．

解答：

(1)∠BCE与∠BAC相等或互补。理由如下：

当点D在线段BC上,如图1(a)，

∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转得到AE，

∴AD=AE，

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中

⎧⎩⎨⎪⎪AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，

∴△ABD≌△ACE(sas)，

∴∠ABC=∠ACE，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABC，

而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180∘

∴∠BCE+∠ABC=180∘；

当点D在BC的延长线上,如图1(b)，

同样可证明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，

同样得到∠BCE+∠ABC=180∘；

当点D在CB的延长线上,如图1(c)，

同样可证明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，

∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠ACB+∠BCE，

∴∠BCE=∠BAC；

综上所述，∠BCE与∠BAC相等或互补；

(2)∠EBC与∠BAC相等或互补。理由如下：

当点D在线段BC上,如图2(a)，

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠CAD=∠BAE，

在△ACD和△ABE中，

⎧⎩⎨⎪⎪AC=AB∠CAD=∠BAEAD=AE，

∴△ACD≌△ABE(SAS)，

∴∠ACD=∠ABE，

∵∠EBC=∠ABE+∠ABC，

∴∠EBC=∠ABC+∠ACB，

而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180∘

∴∠EBC+∠BAC=180∘；

当点D在BC的延长线上,如图2(b)，

同样可证明△ABE≌△ACD，得到∠ABE=∠ACD，

∵∠ABE=∠ABC+∠EBC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，

∴∠EBC=∠BAC；

当点D在CB的延长线上,如图2(c)，

同样可证明△ABE≌△ACD，得到∠ABE=∠ACD，

∵∠EBC=∠ABE+∠ABC，

∴∠EBC=∠ABC+∠ACB，

而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180∘

∴∠EBC+∠BAC=180∘.

综上所述，∠EBC与∠BAC相等或互补。