地球在自转。现在挖一个隧道，使得一个小球从一端进入，从另一端出来，当中仅受引力作用，不和隧道壁有任何接触。这样的隧道是直线吗？如果不是，是怎样的曲线？出口和入口是地球上相对的两个点吗？

假设

地球密度分布是均匀的

隧道入口与地球表面垂直

【山醒的回答(25票)】:

^{陈浩同志在考我大学物理……}

以地球为参考系（取直角坐标系，取自转矢量方向为z轴），则要受到Coriolis力，联合重力和Coriolis力，我们得到的加速度为：

分量形式为：

前两式为耦合的微分方程，用差分法进行数值解。

初始条件，地表，纬度45度，经度0度(经度不影响，下面MATLAB代码中你可以自己改纬度，已注释)。则
差分解的话，要将3个二阶的写成6个一阶的（x、z方向初速度为0，y方向初速度因为地球自转，是ωRcos(θ)）：
北纬45度结果（8万秒）：
俯视图：
北纬45度结果（100万秒）：
俯视图：

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万有引力常量：

地球质量：

地球半径：

地球自转角速度：

————————————————————————————————————————————MATLAB代码，要玩的自己复制去玩吧：

function ball_in_earth( )

% lambda是纬度(正值为北纬，负值为南纬)

lambda = 45;

theta = (90 - lambda)*2*pi/360;

% 纬度lambda转为球坐标的theta

G = 6.674e-11;

M = 5.9722e24;

R = 6.3781e6;

omega = 7.2921e-5;

x0 = sin(theta)*R;

y0 = 0;

z0 = cos(theta)*R;

vx0 = 0;

vy0 = omega*R*cos(theta);

vz0 = 0;

[t, y] = ode45(@f, [ 0, 8e4], [ x0, y0, z0, vx0, vy0, vz0]);

plot3( y(:,1), y(:,2), y(:,3));

xlabel('x');

ylabel('y');

zlabel('z');

end

function dy = f( t, y)

G = 6.674e-11;

M = 5.9722e24;

R = 6.3781e6;

omega = 7.2921e-5;

dy = [ y(4); y(5); y(6); -G*M/R^3*y(1)+2*omega*y(5); -G*M/R^3*y(2)-2*omega*y(4); -G*M/R^3*y(3)];

end

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代码中倒数第13行的8e4代表的是模拟时间，100万秒就是1e6了。

8万秒和100万秒虽然侧视图不一样，但是俯视图一样。侧视图不一样的原因可能是MATLAB进行数值计算的精度有限，求解释、求高精度解法。

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如果小球没有初速度，即你从外太空把它放下去，则代码中vy0=0，结果如下（北纬45度）：

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(数值解完了，解析解还没写完。)来个解析解，记D为对时间求导的算符，则

两式相加，得到：

其中，a和b定义为：

由x的特征方程

得到结果：

r =

0.000000381408422 + 0.001758880872482i

0.000000381408422 - 0.001758880872482i

-0.000000762816843

于是，

可见是有衰减项的。（具体解有点崩溃，想解析地解的同志们可以自己玩一下）

【金秉文的回答(10票)】:

当小球在赤道，相对于地球的速度为0的情况下，我用HTML5模拟了一下，于是得到：

图中的红色线条就是隧道（or小球的运动轨迹），所有的隧道都是在地球的赤道平面上，这个图所在的平面就是赤道平面。我只写了个简单的二维物理模拟程序，所以暂时只能做赤道上的情况。当小球的初始位置在其它位置时，得到的结果一定是三维空间中的一条复杂曲线，不是简单的用一张二维的图片能够展现的。

另外，求数学大牛用公式分析此运动啊。我尝试着写了一下方程，发现很复杂，我微积分太弱了，拜一下牛顿大神。

当然，如果修改不同的模拟参数（比如小球的质量，地球的质量，地球的半径等等等等），还可以得到很多不一样的结果，比如：