1+2+4+8+16+32+64+128+256+...=

假设1+2+4+8+16+32+64+128+256+...=x

1+2+4+8+16+32+64+128+256+...

=1+2*(1+2+4+8+16+32+64+128+256+...)

也就是x=1+2x，那么x=-1

这明显是错的，因为正数相加怎么也不能等于负数，但是错在哪里呢？

【陳浩的回答(18票)】

我认为你是对的。

在你目前所学的级数求和定义中，这个级数不收敛，所以你后面的计算都不对。

但是在更一般的级数求和定义中，这个计算是对的。

你的例子比上面这个例子更夸张，用Abel求和定义和Cesaro求和定义仍然发散。

不过，通过解析延拓，仍有可以用在你的例子上的级数求和定义，见下面的维基页面。

更严谨的写法，是写成几何级数，然后拓展到发散区间。这都是后话。

我个人鼓励这种超出教材的尝试，因为数学不会因为没有定义而停步。

这样尝试有助于理解数学怎样拓展自己，并且可以深入理解定义。

如果没有这种尝试，就没有虚数了。

【巴巴罗莎的回答(10票)】

级数发散，第N+1项不能省略。

【语翔的回答(2票)】

请复习或学习数学分析或高等数学中级数一章，关于发散与收敛的基本概念，这是数学分析中的经典问题。推荐《陶哲轩实分析》这本书，陶教授在第一节就列出了与你问题相似的一些题目，从而也引出了数学分析的学习，包括正确理解极限和收敛。

【SoybeanYoung的回答(0票)】

x是无穷啊，不能这么算吧

【Hooopo的回答(0票)】

不收敛喔

【林清驰的回答(0票)】

这个级数不收敛，不能设作某个值。就像∞也并非常数一样。

【曹梦迪的回答(0票)】

“正数相加怎么也不能等于负数”仅限于有限的情况，无限的情况不能简单地直接使用有限的情况的结论。

所以其实如果你对这个无穷加法进行另外定义的话，1+2+4...=-1的结果是正确的。

【闫涛的回答(1票)】

公式有些问题，假设该多项式最高项为2^k，那么公式应该写为：x=1+2*(x-2^k)=1+2x-2^(k+1)，所以可以得出：x=2^(k+1)-1

【杨逍的回答(0票)】

貌似某本数值分析教材中有这道题，记不清了~~

【若水的回答(0票)】

如果按楼主的逻辑，那么1+2*(1+2+4+8+16+32+64+128+256+...)的结果便不能是1+2x，因为项数减少。我们假设有N项，那么2*(1+2+4+8+16+32+64+128+256+...)便只有N-1项，所以在此处的推断有问题。

原文地址:知乎

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