圆上任选三点组成三角形，这个三角形是锐角、钝角和直角三角形的概率分别是多少

网上找了一下，直角三角形概率为0基本没争议。锐角三角形的概率为1/4、1/3、1/2都有，不知道哪个对。

【陳浩的回答(10票)】

取极坐标下单位圆。

取A点。不失一般性，设A点所处角度为0。

取B点，

B点角度 t 在(-pi, pi]的范围内均匀分布。

即B点处于(T, T+dt)中的概率为dt / 2pi

取C点，討論B点角度 t

t＞0，则C在(-pi, t-pi)的范围内时，ABC为锐角。

t＜0，则C在(pi+t, pi)的范围内时，ABC为鋭角。

以上两个事件概率都为 |t| / 2pi

最后要求的是：|t| dt / (2 pi)^2 对 t 从 -pi 至 pi 积分

答案是 1/4

【天二的回答(0票)】

任取一点A，计算该情况下的条件概率。可以设想把圆从A点剪断，拉成一直线，就转化为常见的相遇问题了。然后由此条件概率计算出所求概率。不同取法答案可能不同，但这些取法下点在圆周上就不是均匀分布了。

【X-me的回答(0票)】

辩证一下：既然圆上任选三点，那么我选一直径的两点，第三点随便，不重合就OK，那么直角三角形机率为0？

【张正雄的回答(0票)】

（有错误，慎看）

锐角为1/4。

思路：

假设有一个锐角三角形ABC，那么其外接圆的圆心O点一定在三角形的内部。

找到ABC点关于O点的对称点DEF，连接BD，CD，AE，CE，AF，BF。

那么ABF，ACE，BCD是钝角三角形，因为其三角形外接圆圆心O点在三角形的外面。

所以在一个圆中如果找到一个锐角三角形，那么就对应有三个钝角三角形。

由于出现直角三角形概率为0（不可能事件），所以锐角三角形出现概率为1/4。

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