概率收敛、均方收敛、分布收敛等几个概率之间的区别和联系是什么？

【慧航的回答(13票)】:

谢邀。

依概率收敛：

Almost sure：

简单的理解就是，依概率收敛的意思是，当n趋向无穷，

与

之间不相等的部分概率趋向于0，而Almost sure的意思是，当n趋向于无穷，

不收敛到

的概率为0。a.s.收敛可以推出依概率收敛。

而均方收敛：

，实际上可以理解为两个随机变量的距离随着n趋向于无穷而变为0。均方收敛可以推出依概率收敛，但是相反不成立。当然，如果加上一定的可积条件的话，依概率收敛可以推出均方收敛。

依分布收敛是个完全不同的概念。依分布收敛是一个分布函数收敛的概念，即

，所以

与

甚至都可以不被定义在同一个概率空间之内。

至于具体的定义、差别，建议学习测度论和高等概率的内容。

【尚沛的回答(19票)】:

上一张考qualify时候做的总结：

字迹有些潦草，凑合看。右边竖着写的是定义，上下框起来的部分和题目没有太多关系，主要内容是中间部分。共有四种主要的收敛方式：字迹有些潦草，凑合看。右边竖着写的是定义，上下框起来的部分和题目没有太多关系，主要内容是中间部分。共有四种主要的收敛方式：

1. almost sure convergence (a.s.)

2. convergence in L(k) norm (k=2即均方收敛)

3. convergence in probability (P)

4. convergence in distribution (D)

图中实箭头表示可以直接推出，虚箭头表示需要一定条件才可推出，箭头上带叉表示反例。简单总结如下：

1. a.s.和L(k)是最强的两种收敛，依概率收敛次之，依分布收敛再次。如果almost sure convergence，则一定有convergence in probability，如果convergence in L(k)，则一定有convergence in probabiliby，如果convergence in probability，则一定有convergence in distribution。

2. almost sure convergence和convergence in L(k)之间没有必然关系。

3. convergence in probability无法推出更强一级的收敛，convergence in distribution则更弱，连convergence in probability也无法推出。

4. 有比almost sure convergence更强的收敛，即为complete convergence。

5. 对于convergence in L(k)来说，更大的k可以推出更小的L(k)收敛，但反之不可。

6. almost sure convergence有等价的判定方法，即如果

infinitely often发生的概率等于0，则almost sure convergence。

7. convergence in probability也有等价的判定方法，若任取

的一个子列，都有这一子列的子列almost sure收敛于

，则

依概率收敛于

。

8. convergence in distribution有两种等价的判断方法，即Helly-Bray定理和Levy定理。

【谢畅的回答(0票)】:

强度：依概率1收敛>依概率收敛>依分布收敛；

k-阶收敛(均方收敛是k=2的k-阶收敛)>依概率收敛>依分布收敛。

1. 其中k-阶收敛可以推出比k小的阶收敛。

2. 依概率1收敛和k-阶收敛没有必然关系

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