【AugustLee的回答(13票)】:
别的题答不了，这个题还是要给个靠谱答案的。
伊藤引理的作用仅仅是其一，伊藤这个名字作用就很大。基本来说有伊藤过程，伊藤积分，伊藤引理三个重要概念。
长成dXt = drift * dt + diffusion * dWt这个德性的就是伊藤过程。在金融随机分析里各种资产的价格过程，利率等都被我们假设成了伊藤过程。这也是BS公式的假设之一。
伊藤积分跟黎曼积分差不多，也是一个极限和，不过取的是左端点（取中点的是Stratonovich积分）。伊藤积分的良好性质有很多，其中最主要的就是伊藤积分是一个martingale（鞅）。由于布朗运动的二次变差不为0，极限和取中点和左端点及右端点做近似的时候，值是不一样的（这与普通微积分的黎曼和不一样），只有取左端点才是伊藤积分。
针对布朗运动，处处连续处处不可导以及二次变差不为0，我们对于布朗运动的函数f(Wt）求导或者说求微分的时候，公式与普通微积分不一样，这个求微分的公式，就是伊藤引理了。
至于说BS公式，它的思想可以说与ito引理无关，但是如Yupeng所说，体系还是Ito Calculus的体系下建立的数学模型。在进行推导演算和证明的过程中，会用到Ito引理。
如果把伊藤引理和BS公式相比较，就好比把微积分和统计的分布函数相比较。后者虽然有自己的数学意义和实际意义，但是做不可或缺的计算时候，就要用到微积分的基础。
更新
dXt = drift * dt + diffusion * dWt 可以写成如下形式
这样才是一个非常一般化的伊藤过程。这样才是一个非常一般化的伊藤过程。
【于鹏的回答(7票)】:
在资产定价领域，衍生产品的价格看作标的资产价格（基于维纳过程的随机过程）和时间的函数，所以处理随机过程函数微分的伊藤引理就起着非常基础的作用。包括BS方程的推导过程中，就有伊藤引理的直接应用。
偷懒直接用从John Hull那本书上截图的公式。BS方程的初始出发点是用期权和股票构建一个组合如下12式：
这个组合在短时间内的变动情况由下面的13式给出。这个组合在短时间内的变动情况由下面的13式给出。
上面右边如何展开？根据假设股票价格遵循下面(14.10)的运动。上面右边如何展开？根据假设股票价格遵循下面(14.10)的运动。
那么只剩下f的运动如何描述？伊藤引理这时告诉你用下面的(14.11)式描述。那么只剩下f的运动如何描述？伊藤引理这时告诉你用下面的(14.11)式描述。
并且伊藤引理还说了，S运动和f运动中的维纳过程z是一样的。并且伊藤引理还说了，S运动和f运动中的维纳过程z是一样的。
这样就可以将10和11两式，代入13式消除z（这个的前提也是伊藤引理保证的：10和11中的z是同一个东西，否则无法消除。），得到下面的14式。
14式中已经看不到随机项z了，在短时间内是无风险的。根据无套利假设得出下面的15式。14式中已经看不到随机项z了，在短时间内是无风险的。根据无套利假设得出下面的15式。
再代入组合的定义12式，BS方程就得出了。再代入组合的定义12式，BS方程就得出了。
详细的过程参见Johh Hull的原书。
【sage0614的回答(2票)】:
一种数学方法和一种金融思想是难以放在一起比较的。BS公式的意义在于他提出了我们可以通过自融资策略构造一个无风险的投资组合，而这个投资组合的收益应该等于无风险资产的收益。假设没有伊藤公式我们仍然有很多办法在这个思维框架下对衍生品定价。在金融学中，这个思维框架的意义比它具体要怎么算的意义大得多。
【Yupeng的回答(1票)】:
Black Scholes算是Ito lemma的一个结果，是儿子于父亲的关系。Ito calculus是一个新的calculus领域，和普通calculus有联系又有区别。Ito lemma对于semimartingale pricing theory有着绝对的指导作用，因为做定价说白了最需要两个定理：Ito lemma和Girsanov Measure Change Theory。
【ZhangAlex的回答(0票)】:
Ito lemma是一种求解BS函数的方法。Black和Scholes在求解微分方程的时候求解不下去了，碰到了Robert Merton就是得诺贝尔奖的另一个专家，利用Ito lemma解出了这个方程。其实BS方程用很多其他方法也能求解，看姜礼尚老师的书用其他的方法也能求解。
【胖子的回答(0票)】:
Ito lemma是处理随机过程中随机微分的准则。
简而言之，在普通的微积分中，df(x,y)=fx dx+fy dy，这个是全微分的展开式（手机打不了下标），大于一阶的无穷小量忽略。
而在一个随机过程里，dx=Adt+Bdz，其中dz服从标准正态分布。在这里，由于dz不是传统意义上的变量，所以不可以直接求微分。那么对于df(x)，就有Ito lemma，即除了保留传统微积分中的一阶dz和dt外，还要保留高阶泰勒展开中的dz^2项，因为根据定义，dz^2=dt也是一阶小量。
由于随机过程是描述金融产品价格的重要工具，所以Ito lemma作为基本手段非常重要。
建议楼主可以看一下coursera上UChicago 的Asset Pricing课程，是很好的零基础入门课。感觉楼主对于资产定价和Ito lemma的用处还不是很了解，如有冒犯，请原谅。
【解幺的回答(0票)】:
伊藤引理之于连续时间金融，和微积分之于经济学，车轮子之于法拉利，是一样的。
伊藤引理和BS模型本来就不是一个维度的问题，一个是数学定理，另一个建立在假设上的模型，没什么好比的。
【严冠麟的回答(0票)】:
不请自来，本人弱学生一枚，有幸对这个有所了解答一下：在最初的BS公式微分方程证明中（就是那个M和他们一起搞这个之前），伊藤引理使用了两次：
第一次，在generate 股票的log normal假设时，在已知股票收益的mean和volatility时，用引理倒出log normal的mean和volatility：
第二次，在BS二人构造无风险无套利组合时，为了构造衍生品的过程，同时消除衍生品不确定的sigma时用了第二次
公式右边就是那个不确定的sigma项，系数delta正好是衍生品f对股票价格S的一阶偏导。
这个无风险无套利组合，需要卖出一分衍生品同时买入delta份股票，这个组合在t时间后正好赚取无风险利润rt。
两者大致是这样的关系，除了BS公式，凡是基于时间和标的资产价格二元函数的随机过程（称为伊藤过程），都要用到伊藤引理，同时BSM微分方程也是所有基于标的资产和时间标价衍生品的通用方程。
然后我们的莫顿祖师来了，说不用解偏微分方程，只要在风险中性假设下求E[max(St-K)]的积分就行了！于是本科生都会这个了。
值得一提的是，BS公式的贴现方式可以根据不同measure改变。风险中性时是e^-rt；远期风险中性是r要加一个lambda*sigma，lambda这里可以理解成夏普比率；也可以用zerobond的现值作为测度贴现
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