【龙草的回答(10票)】:
这个其实是个几何学问题啊，晶体的性质中明确要求晶体单元具有平移对称性，而5重轴不具有这样的性质。
这个证明有个很经典的方法（我会尽量使用初等数学概念来解答，避免出现类似点阵、群、对称操作这种词汇）：
如图所示，一个n重轴n经过点O并且和纸面垂直。晶体点阵中必然存在一个经过O的直线AA' ，并且A与A' 关于O对称。设向量OA的模为a。将向量OA绕n顺时针旋转2π/n得到向量OB，将向量OA' 绕n逆时针旋转2π/n得到向量OB' 。依据n重轴的定义，BB'肯定平行于AA'。
设：BB'的模为k·a，则：k.a = 2a·Cos（2π/n），有 k = 2Cos（2π/n），其中Cos（2π/n）的绝对值小于1，所以k的绝对值小于2。根据平移对称性的定义，k必须是整数，所以k只能是-2,-1,0,1,2。
1.当k=-2时，Cos（2π/n）= -1，2π/n=180°，n=2
2.当k=-1时，Cos（2π/n）= -1/2，2π/n=120°，n=3
3.当k=-0时，Cos（2π/n）= 0，2π/n=90°，n=4
4.当k=1时，Cos（2π/n）= 1/2，2π/n=60°，n=6
5.当k=2时，Cos（2π/n）= 1，2π/n=360°，n=1
所以晶体中只存在1,2,3,4,6重轴。
可以参考：Crystallographic restriction theorem
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晶体的围观结构需要具有两个非常关键的性质：
1）长程有序的粒子排列；
2）平移对称性；
这两个性质决定了晶体结构中只会存在1,2,3,4,6重轴。
对晶体结构的认识其实与几何上的密铺问题是分不开的。对于单一正多边形的密铺，只能采用正三角形、正方形、正六边形这三种，涉及的对称轴也只有1,2,3,4,6重轴。但是如果采用多种不同的多边形进行密铺，那么就有可能出现5重或者7重及以上的对称轴。这一问题在1961年由华裔数学家王浩提上台面，并在1976年，由数学家彭罗斯构造出了最为经典的采用两种不同的菱形（36°/144°，72°/108°）的密铺图案：
这种密铺中没有可以平移对称的单元，但其仍然是非常和谐的密铺，而且具有五重对称轴。
但至少在70年代末，这种对于密铺的讨论仍然仅限于数学上。
直到1984年以色列化学家丹·谢赫特曼在快速冷却铝锰合金时发现了一种崭新的金属相，这一金属相的电子衍射斑表明其具有五重对称轴。这一研究成果之后发表在PRL，标题是“一种长程有序但是不具有平移对称性的金属相”。在发表之后马上引发了化学界的爆炸式研究。1985年，日本的Ishimasa课题先后在Ni-Cr合金颗粒中发现了12重轴、在V-Ni-Si和Cr-Ni-Si合金中发现了8重轴。这些新的具有长程有序的粒子排列但有不具备平移对称性的新的结晶被称为“准晶体（quasicrystal）”，丹·谢赫特曼也因为这次发现而获得了2011年诺贝尔化学奖。
【蒋童的回答(4票)】:
从教材拍的图，《固体科学中的空间群》
【美】G.本斯 A.M.格莱泽 著，俞文海 周贵恩 译
希望对你有所帮助。
【兔森破兔样的回答(0票)】:
@Wei Shao 贴图的教材是正解。《晶体学中的对称群》等高年级本科或者研究生教材都有。
如果题主是在看教材的过程中产生的这个疑问，那么教材肯定会给出这个定理的证明的吧，非常简单不占篇幅。
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