【DTSIoShao的回答(45票)】:
谢邀.
就我所知, John Nash对于纯数学的主要贡献在如下三个方面: Hilbert第十九问题(椭圆偏微分方程解的正则性), Riemann几何, 泛函分析(主要应用是研究偏微分方程的可解性和解对微扰的依赖性). 代数几何方面的我全无了解, 不敢乱说.
必须要说一句, 他对于Riemann几何和泛函分析的贡献是捆绑在一起的. 后面详述.
1. Hilbert第十九问题
在椭圆型二阶偏微分方程的理论中, 有一部分现在被称作de Giorgi-Nash theory, 发展这套理论最早是为了证明某些Euler-Lagrange方程的解的正则性. 例如, 可以考虑如下的变分问题:
设
是定义在
上的光滑函数, 求出适当的函数
, 使得它是如下泛函的临界点:
.
自然要问: 它有临界点吗? 临界点有没有所需求的性质? 通过一些计算与讨论, 问题往往要归结到研究如下的"散度"形式的二阶椭圆微分方程(研究的是弱解):
.
其中系数矩阵
只满足一些相当宽泛的条件: 它们在所论的区域上是一致正定的对称矩阵, 并且是有界可测的.
De Gorgi和Nash使用了不同的方法独立地得到了有关这一方程的结果. Nash研究了相应的热方程并且得到了Holder估计, 即证明了弱解的Holder连续性. 椭圆方程可以视作不依赖时间的热方程, 从而其结果可以一并得到. 由此即可推出原来变分问题的解具有相当好的正则性, 即给出了Hilbert第十九问题的答案.
如何评价de Giorgi和Nash的工作? 这些工作对于研究同变分相关的偏微分方程是非常基本的, 对于研究许多从几何中来的半线性偏微分方程(比如极小曲面方程)都有很重要的意义. 他们的工作使得我们知道了, 散度型线性椭圆方程以及半线性椭圆方程原来同Laplace方程一样, 也具有较好的正则性. 前者的解甚至还满足Hanarck型的不等式. 这件事在Kovalevskaya定理(解析解的存在唯一性)发表的时代就已经在引起人们的注意了, Hilbert在第十九问题中将它明确地提出, 而de Giorgi和Nash解决了问题最主要的部分.
2. Riemann流形的等距嵌入
然后来看看Nash在Riemann几何与泛函分析上的贡献. Riemann几何中有一个相当基本的问题: Riemann流形能不能等距嵌入欧氏空间中? 我们知道, Whitney嵌入定理断言任何
维微分流形都可以光滑嵌入(即嵌入映射同时是immersion也是拓扑嵌入, 或者等价地, 流形可以表示成没有奇异点的光滑参数曲面)
维的欧氏空间中, 但是如果考虑Riemann流形的等距嵌入, 就不得不研究一个非常复杂的偏微分方程组. 实际上, 不妨取定一个局部坐标系, 使得在这个坐标系之下, 嵌入映射可以写成
(
是目标空间的维数), 而Riemann度量具有局部表达式
, 则所求的嵌入在这个局部坐标之下必须满足如下的微分方程组:
.
在这里, 尖括号代表欧氏空间的内积. 这方程可以简写为:
,
其中左上标代表转置, 乘法是矩阵的乘法, 而撇号代表对坐标的导数. 嵌入问题的可解性等价于这个方程的可解性.
为了求解这个方程, Nash使用了一种微扰方法. 首先可以不太困难地说明, 在流形上面全体的Riemann度量组成的空间(是二阶对称张量空间的一个开集)中, 可以表达成(1)的形式的度量是稠密的. 于是可以把问题归结成如下形式:
对于任何自由嵌入
, 诱导度量
附近的任何度量都可以写成
的形式. 证明对于"小"的
, 关于
的方程
存在解.
Nash使用了一个本质上是Newton迭代的方法来证明上述方程的解的存在性. 他在论文的前言里面提到, 这一套方法似乎并不是只能应用于处理嵌入问题, 许多其它的微扰问题都可以纳入到这一框架之下. Moser注意到了这一点, 于是将Nash的方法加以抽象提炼, 即得到了泛函分析中重要的Nash-Moser隐函数定理.
这个定理的意义是很重大的. 传统的隐函数定理讨论的对象是Banach空间, 并且要求所研究的映射具有导出映射. 然而在实际问题中碰到的许多空间都不是Banach空间, 例如试验函数空间: 它是Frechet空间. 在这种情况下, 研究隐函数问题就会碰到相当大的障碍. Nash的方法使用的导数只是方向导数, 而且也只要求背景空间是"柔性"的Frechet空间, 比起传统的隐函数定理来讲, 应用面要宽广多了. 它几乎是关于微扰问题可解性的最一般的定理了. 许多困难的非线性分析问题(尤其是方程的可解性)都可以通过Nash-Moser方法加以解决.
[注]八十年代时人们发现, 等距嵌入问题其实完全可以使用传统的隐函数定理来解决. Alinhac和Gerard在他们的书中写道: 尽管这一方法(Nash的迭代方法)最终证明对解决嵌入问题并不必要, 它依旧是研究扰动问题的一个基本工具.
限于篇幅, 不能在这里给出定理本身的任何细节, 因为说清楚任何一个细节都需要相当长的篇幅. Nash的这两项工作都是非常困难的分析, 若是读他的原始文章, 常常会觉得此人的灵感或许来自上帝的提示. 由此可见Nash确实有一个天才的脑子.
我不懂经济学和博弈论, 所以无法对后两个问题给出回答. 欢迎各种讨论.
【罗望熙的回答(1票)】:
谢邀
我对纳什的了解很标签化，博弈论，普林斯顿，精神病缠身，《美丽心灵》电影原型。作为非经济学相关专业的学生，本科时代唯一修过的一门外专业课程就是博弈论。但是这一门课程我至今印象深刻，甚至超越了我所学的其它专业课程。
囚徒困境，小鸡博弈，混合策略纳什均衡，这些词又一次冒了出来。这样的一个理论模型，让原本模糊的争论变得清楚了，很好地解释了策略在人们工作生活中的重要性。这样的一门学科，有厚黑学的影子，也有兵法的思想，用数学的工具实现了统一。
石头剪刀布的游戏，多么接地气，但是用博弈论的研究方法来看，又可以很高大上。生活中无时不刻都在博弈，概率论和博弈论的结合让选择不必纠结，最优策略让结果决定。概率论研究的更多是人与自然的关系，而博弈论讲究的是人与人之间的关系。
记得当时课堂上，老师掏出100块钱，对大家说，你们在0-100之间写一个整数在纸上，然后我们把纸收上来，计算大家数字的平均值，谁写的数字离这个平均值的一半最近，谁就能获得这100块钱。大家开始琢磨，如果别人都瞎写一个数，那最后平均值会是50左右，那写25的人就能赢得这一百块钱了。大家也不傻啊，那人家也都写25呢？那就是写12或者13的人能拿钱了。多想想就会发现，最后写0才是正解，大家都写0，然后平分这100块钱。
事实上，最后写0的人并没有拿到这100块钱，最后的平均值好像是5左右，写2的人拿到钱了。因为并不是所有人都是完全理性分析了一切，有人也许就是随便填了个数字。这些人改变了最后的结果，要准确预测对手，还要基于对 对手的了解。
上周六，刚好我去普林斯顿参观了美丽的校园，回来听到这个不幸的消息，以后出门一定记得系安全带。
【黄宇的回答(0票)】:
谢邀。对于纳什的贡献，仅仅知道博弈论。看维基百科的页面上介绍到了他在几何方面的贡献。相关内容主要来自于他在获诺贝尔奖的时候自己的叙述：John F. Nash Jr.
另外，有些偏题的是，看到这个问题首先想到的是陈省身对纳什的评论，大意是说：纳什是超级天才的，但是他主要是去攻克数学里的很难的问题。这些难题，虽然自身极具挑战，但是对整个数学的发展的贡献不是特别大。
【KevenHowe的回答(0票)】:
刚因为nonlinear PDE的工作被授予2015年的Abel奖，参见http://www.abelprisen.no/artikkel/vis.html?tid=63683；
那什等距嵌入定理，黎曼流形可以嵌入到欧式空间中；实代数流形；
貌似还研究过情报密码什么的，不太了解，美国国家机密；
N-person 非合作博弈均衡解的存在性：布劳威尔不动点定理，可以推广到Kakutani fixed point theorem……
【DajYahao的回答(6票)】:
先谢邀一下 要了解数学方面的贡献 直接查MathSciNet的Citation应该算是比较简便和直接的方法。我就上个截图
可以看出他在纯数学方面的主要贡献是在微分几何（流形嵌入等）和偏微分方程上。其它很多文章都是在博弈论方面。如果想了解更多可以自己去仔细看看评论员的介绍。
另外可以关注的一点是，纳什在MathSicNet的文章在1971年后就出现了大量的时间断裂：后面的基本上都是书，文章很少。从某种意义上来说，在那个时间节点以后，纳什基本上算是淡出数学这个圈子了（至少在数学方面的活跃程度降低了）。
【我的方向和他不同 属于外行 所以可能有偏差 不过这也算是外行了解某个人最直接的方式之一】
【peiyu的回答(1票)】:
人家解决了Hilbert第19问题。。。
【ZhiLi的回答(9票)】:
谢邀，很激动~
首先得向纳什的逝世表示哀悼啊，因为博弈论对现代经济学的影响实在是太大了。
数学修为比较低，无法评论纳什数学方面的成就。
经济学方面来讲，说他是有史以来最伟大的经济学家之一也不为过。纳什对于博弈论的分析彻底改变了经济学的分析方法。无论是古典经济学还是新古典经济学，其实一直都没有解决人与人的互动问题（其实说到本质是如何通过对他人决策的推测做出最优于自己的决策）。博弈论的出现给很多涉及策略性行为的情况提供了理论基础，比如这个问题：为什么麦当劳和肯德基总是开在一起？ - 经济学，再比如劳动力市场中的集体议价模型，公共品提供，产业结构（寡头垄断模型等），不对称信息等等（省略n多字）。可以说博弈论大大扩展了经济学可以分析的内容。
当然博弈论本身给新古典理论带来了非常大的挑战，就是单次囚徒困境博弈的合作解问题（也可以理解成单次博弈中的合作问题）。根据经典的博弈论理论，单次囚徒困境不可能达到合作解（这就意味着充满单次商品交易的新古典经济学是达不到最优解的），但是在现实生活中和大量心理学实验都证明合作解的广泛存在。Ostrom（2009年的诺贝尔经济学奖得主）就致力于分析在相对封闭环境下，小规模人类社会如何解决公有资源的有效使用问题。其他还有脑科学，心理学研究试图揭露人类倾向合作的心理学机制（这个关于分配财富的博弈论模型试验有什么心理学解释？ - Zhi Li 的回答）。
由于纳什的分析框架实际上是一种全新的方法（纯粹数学的，和经济学理论本身没什么关系），所以在经济学之外也有广泛的应用。约翰·梅纳德·史密斯的《演化与博弈论》就是把博弈论拓展到生物学研究的经典著作。政治学不是特别了解，但是集体行动的分析应该也离不开博弈论的分析。
【叶晓度的回答(0票)】:
谢邀，不胜惶恐。
和老先生不是一个领域的，仅仅是看过电影而已。不过《美丽心灵》没有太多表现其30之前和病愈之后的事情，纳什自己也说，那电影只是帮助人们理解精神病人罢了。
咳咳，跑题了。。。
我看楼上说博弈论基本都集中在经济领域，实际上这个理论在心理学或者国家政策制定上都是有巨大作用的，因为它指向的是人类的心态和思维方式。原则上，只要有人参与博弈的地方，这个理论都会生效。
很简单的例子，比如说社会制度，即便一个制度对大多数人都不利，但是大家还是会自觉遵守，因为在其它人策略不变的情况下，主体当前策略最优（就是纳什均衡）。你可以说，如果大家一起做出改变，会得到共赢局面，是的没错，就是这样的，上层的决策者的目标就是这个，如何令大家一起做出改变，走出困境。这里面就需要国家的强制力，或者局部的利益引导。反过来说，国家要制定一个让大家自觉遵守的制度，就务必达到一个纳什均衡，这样才是稳定的，才会长久存在。
学识浅陋，说不出啥，还望题主见谅。
【荒原的回答(2票)】:
http://en.wikipedia.org/wiki/Nash_embedding_theorem
納什嵌入定理
【知乎用户的回答(0票)】:
谢邀
大多数人从美丽心灵中了解到的纳什，其实都是假的——爱生气的队长
其他领域有贡献 他还研究过宗教和神学 还是精神病领域的一个患者——签工作不请吃饭的成哥
【华烨的回答(0票)】:
单纯就纳什均衡对于经济学的影响，那自然是巨大的，在这里罗列两个典型事实：1. 目前流行的微观经济学教材里都会为纳什均衡腾出一块可观的位置；2. 我国设立经济学专业的高校几乎都会要求学生修习博弈论课程，而比起海萨尼和泽尔滕，nash的研究又总是被最先提及。
In addition, in the movie 《a beautiful mind》, I always remember that John kept saying "Adam Smith was wrong" .. We can see his equilibrium theory has successfully challenged Classical Economic Theory .
【魏皓然的回答(0票)】:
我只知道他是博奕论的创始人。
他的研究领域到目前为止我也就碰过偏微分方程，而那门课我上课是在听天书……与之对比，复变函数我上课听一遍就能懂
也就是说，他研究的领域太高端以至于我并没有接触过多少……自然我也不知道，偏微分方程算是我唯一接触过的了。他对椭圆形和抛物形偏微分方程有过研究。在这里我必须陈述一个事实，那就是偏微分方程的理论直到现在还很不完善，而要完全从理论的高度研究偏微分方程，需要泛函分析相关的理论。
我并不懂经济学，因为我学的是偏向工科的应数，并且由于学校性质，所以我跟的导师，做的科研训练，都是跟打打杀杀的东西有关，那种经世济民的东西我还真的说不出啥来啊
原文地址:知乎
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