如何理解计量经济学中的「检验过度识别约束」？ |

【慧航的回答(70票)】:

开一个脑洞，我们以一个不那么计量的问题讲一下什么是「过度识别」。

我们假想这么一个问题。在一块平地上，有两个基站，一个人手持接受设备可以测量到基站的距离，两个基站的坐标分别为：(0,0), (10,0)

现在假想，如果一个人站在(2,0)处，那么可以测量出到两个基站的距离分别为2和8，联立：现在假想，如果一个人站在(2,0)处，那么可以测量出到两个基站的距离分别为2和8，联立：

可以解出唯一解，即(2,0)，我们称这种有唯一解的情况为「恰好识别」。

然而，这个恰好识别的情况出现的非常特殊。比如仍然是这两个基站，如果一个点位于(6,3)：

那么同样解方程：那么同样解方程：

很可惜，在这种情况下，设备不能确保自己在(6,3)还是(6,-3)的位置，这种有不止一个解的情况，我们称之为「不能识别」。

有什么解决办法呢？如果我们在除去x轴的任何一个地方放一个新的基站，比如在(10,0)处放一个新的基站：

这个时候，我们联立三个方程：

这个时候，解唯一了，三个圆确定一个点，仍然能达到「恰好识别」。

什么是「过度识别」呢？如果我们有第四个基站，比如在(10,10)这个位置：

现在我们有四个基站都可以用来测量，联立四个方程，仍然能得到未知的位置坐标。现在我们有四个基站都可以用来测量，联立四个方程，仍然能得到未知的位置坐标。

然而我们很清楚，如果测量是准确的，只用三个基站就可以了。只是如果测量是有误差的，比如对四个点测量的距离为：(28,49, 82, 68)，真实值为(25,45,85,65)，那么任意三个或者全部四个没有一个唯一的交点：

这个时候可以使用一定的算法（比如简单的取任意两个圆的两个交点中距离最近的三个点的几何平均）估算出位置坐标。可以想象，基站越多，对于自身位置的信息也越多，对于位置坐标的估算就越准确。这个时候可以使用一定的算法（比如简单的取任意两个圆的两个交点中距离最近的三个点的几何平均）估算出位置坐标。可以想象，基站越多，对于自身位置的信息也越多，对于位置坐标的估算就越准确。

讲到这里，那么问题来了，为什么还要做「过度识别检验」呢？

我们之前的结论都是建立在所有基站都是work的，或者都是真实的假设下。但是有没有一种情况，有人用了假的基站误导你的定位呢？

比如在(10,10)的基站是假的，距离这个基站的距离本来是√65，但是假基站却告诉你距离为3，那么在计算坐标的时候，如果不加以检验，很容易被这个假基站误导：

如何检验呢？如何检验呢？

其实思路很简单。我先用任意三个基站计算一个位置。虽然由于度量误差的存在，使用任意三个基站计算的位置不可能一模一样，但是应该大差不差（没有显著差别）。但是，当存在假基站的时候，使用假基站跟其他任意两个基站计算出来的位置应该是差了很多的（有显著差别），那么这个时候就需要怀疑一下是不是有基站作假了。

现在回到计量上，如果你把每个基站看成是一个总体的估计条件，把自己的位置看成是要估计的参数，那么其实恰好识别就是刚好估计有唯一解的情况，而过度识别就是你有了更多的条件，方程数大于未知数的情况。而过度识别检验就是为了检验是不是所有的条件都是对的，既然有更多的条件去估计参数，那么用不同的估计条件估计出来的参数是不是大差不差，相互印证的？如果是，那么很好，更多的条件很多时候可以提高估计精度；如果不是，那么很有可能估计的条件有的是不对的。

至于具体的例子，可以看：能否用简单的例子解释下什么是 Generalized Method of Moments (GMM)？ - 慧航的回答

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