高中数学：椭圆焦半径公式的证明及运用

命题：若椭圆的焦点为，离心率为为椭圆上任意一点，则有。

证明：如图1，椭圆的准线方程为和。由椭圆的第二定义得，化简即得

说明：若椭圆的焦点在轴上，则有。我们把椭圆上的点到两焦点的距离称为焦半径，而（或）、（或）称为焦半径公式。

巧用焦半径公式能妙解许多问题，下面举例说明。

一、用于求离心率

例1 如图为椭圆的两个焦点，以线段为直径的圆交椭圆于四点，顺次连结这四点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则离心率。

分析：如图，连，则，由焦半径公式得，即。

所以，

所以。

二、用于求椭圆离心率的取值范围

例2 已知为椭圆的焦点，若椭圆上恒存在点，使，求离心率的取值范围。

分析：设的坐标为，则

由得

故，即，又。

所以。

三、用于求焦半径的取值范围

例3 若是椭圆上的点，为椭圆的焦点，求的取值范围。

分析：不妨设为椭圆的左焦点，而，则。故。

所以。

四、用于求两焦半径之积的最值

例4 若为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，求的最值。

分析：易知

由知，所以的最小值为，最大值为。

五、用于求三角形的面积

例5 若是椭圆上一点，为椭圆的左、右焦点，且，求的面积S。

分析：易知

。

由余弦定理得。

解得。

所以

六、用于求点的坐标

例6 若为椭圆上的点，为椭圆的焦点，且，则的横坐标为_________。

分析： 由，

及得

，

解得，

所以。

七、用于证明定值问题

例7 已知为椭圆上两点，为椭圆的顶点，F为焦点，若成等差数列，求证：为定值。

分析：不妨设，由成等差数列得，即。

化简得，

所以为定值。

八、用于求角的大小

例8 如图3，设椭圆与双曲线有公共焦点，为其交点，求。

分析：设的坐标为，椭圆与双曲线的离心率分别为，则，，消去得，。

所以

所以。

九、用于求线段的比。

例9 过椭圆的左焦点作与长轴不垂直的弦的垂直平分线交轴于，则。

分析：如图4，设的坐标分别为，AB的中点为，则。

由两式相减并化简得

。

所以

。

所以AB的垂直平行线方程为

。

令，则，故N的坐标为

所以，

所以。

▍ 来源：综合网络

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