高中数学：用导数法求函数的极值，为何遗漏极值点？

用导数法求函数的极值，是求极值基本方法，在解决这类问题时，如果对法则、定理一知半解或理解不透，很容易造成极值点的遗漏。可导函数y=f(x)在某一点

处取得极值的必要条件是这一点

的导数

。因此求可导函数y=f(x)的极值可以按照下列步骤进行：

①先求函数y=f(x)的导数

；

②令

求得根

；

③在

附近左右两侧判断

的符号，左正右负为极大值点，左负右正为极小值点。

 

例1  求函数

的极值。

解  

令

，得

。

列表：

    

所以

  

例2  已知

，当

时，取得极大值7，当x=3时，取得极小值，求极小值及此时a,b的值。

解  因为

所以

由题意得

即

解得

所以

此时

值得注意的是上述求函数的极值的前提是函数f(x)是可导函数，即函数f(x)的导数

存在的情况下给出的。但是在

不存在处，函数f(x)有时也有极值，同学们很容易将这样的极值遗漏。

 

例3  求函数

的极值。

解  当x>0时，

；

当x<0时，

；

当x=0时，f(x)的导数不存在。

显然x=0时，f(x)取得极小值0。

 

例4  求函数

的极值。

解  因为

，显然当x=0时，

不存在，但当x=0时，f(x)存在。

列表：

由表中可以看出，当x=0时，f(x)有极小值且

。

 

因此，在求函数y=f(x)的极值时，除了要对方程

的各个根进行逐个检验，同时还必须对那些使得导数

不存在的点一一加以检验，这样才不致于把极值点遗漏。

▍ 来源：公共信息整合