高中数学题：简单的幂函数与函数的奇偶性

一、幂函数的定义

例1、已知函数

是幂函数，求m的值。

分析：由幂函数的定义可知，只有形如

的函数才是幂函数，故本题

前的系数

且

，由此可解。

解：令

及

，可解得：m=2。

例2、当

时，幂函数

是减函数，则实数m的值为                       。

解答：依题意，

。又因为函数在

时为减函数，故

，故m=-1应舍去，从而m=2。

二、判断函数的奇偶性

一般地，判断函数的奇偶性首先应确认函数的定义域关于原点对称，然后再根据f（x）和f（-x）的关系进行判断，若相等，则为偶函数；若相反，则为奇函数。也可以根据图像的对称性来判断：若图像关于原点对称，则为奇函数；若图像关于y轴对称，则为偶函数。

例3、判断函数

的奇偶性。

解答：因为函数的定义域是{x|x≠1}，关于原点不对称，所以该函数为非奇非偶函数。

若将此函数先化简得到f（x）= - x，则极易得到该函数是奇函数这样一个错误的结论；另外，本题最后的结论是该函数是非奇非偶函数，不可以说成“不具有奇偶性”。

例4、判断函数

的奇偶性。

解答：

分段函数的奇偶性的判断是一个难点，要注意分段进行判断，并要注意是将f（-x）和哪个区间上的f（x）进行比较。

三、复合函数的奇偶性

复合函数y=f[g（x）]的奇偶性可以这样判断：当内外函数均为奇函数时，复合函数是奇函数；当内外函数中有一个是偶函数，而另一个函数无论是奇函数或偶函数，复合函数均为偶函数。

例5、判断函数

的奇偶性。

解答：设

，则g（x）是偶函数；又因为

可视为

的复合函数，故为偶函数。

四、利用函数的奇偶性解题

例6、已知函数

是奇函数，当x>0时，

；求当x<0时

的解析式。

解答：

    

例7、试探究是否存在实数

，使得函数

是奇函数？若存在，求出实数

，并证明函数

是奇函数；若不存在，请说明理由。

解答：函数的定义域是（-1，1），若函数是奇函数，必有f（0）=0，解得

，易证这是一个奇函数。

若奇函数

在x=0时有意义，则必有f（0）=0。

五、幂函数的图像

例8、函数

的图像是（）

解答：由

是偶函数，排除B、C；又当0<x<1时，

>x，故选D。

六、比较大小

例9、比较下列两式的大小



；‚

；ƒ

解答：画出

的图像，由于函数

当x>0时是一个增函数，故

；

‚在同一坐标系中画出

的图像，

故有

；

ƒ由于

，故有：

。

比较这类式子的大小时，往往要充分利用幂函数的单调性以及在同一坐标系中不同指数的幂函数的图像的相互位置关系进行判断。

七、解不等式

例10、解不等式

。

解答：由于

是一个增函数，故由

知：

，故：

不等式的解集为

。

例11. 解不等式

。

解答：由于

是一个减函数，故有

，从而该不等式的解集为

。