欧几里得《几何原本》的数学物理思想

                      于德浩

                     2021.2.9

在两千多年前的欧几里得，总会对一个数学式子赋予几何（物理）意义。比如毕达哥拉斯定理，在《几何原本》是这样描述的，“直角三角形的斜边围成的正方形面积与两条直角边各自围成的正方形面积之和相等。”在我们看来，勾股定理意思是，“斜边的平方等于两个直角边的平方和。”我们看到的是数字、乘积、一维的线段；而欧几里得看到的是二维的面积，具体的物理意义。

在圆的相交弦定理中，欧几里得表述为，“两条弦被截成的两段各自围成的矩形面积相等。”我们现在来看，这个表述似乎很绕。既然是AP*PB=CP*PD，应该直接说，“圆的两条弦截成的线段各自乘积相等。”

不过，在欧几里得的表述下，很容易得到一个重要推论，“面积相等的矩形中，正方形的周长最短。”  如果其中一条弦恰巧是直径，垂直平分另外一条弦，那么就有AP^2=CP*PD。这个正方形的边长是半条弦长，小于半径；而矩形的半周长是直径的长度；所以，正方形的周长要更短。当矩形面积给定时，有且只有一个正方形；所以，正方形的周长最短。这同时也说明，当矩形周长相等时，其中的正方形面积最大。

如果让我们现在去证明，“相同周长的矩形中，正方形面积最大”。仅从平面几何角度，是很难跳跃思维到竟然与圆的相交弦定理有关。我们一般大体猜想，矩形的长和宽，若其中一个太短到0，那么围成的面积也就更小；估计应该是长和宽相等时，面积恰巧最大。

我们现在是用代数方法去证明。假定矩形的长和宽给定，x y=6；求x*y的最大值。我们利用代数公式（a-b）^2>0；从而x*y<(x y)^2/4=9，当x=y=3时，有最大值。

我们也可以用高等数学的一阶导数等于0，求极值的方法。令函数z=x*y=6x-x^2；一阶导数z‘=6-2x；当x=3时，z’=0，有极值存在。其二阶导数，z‘’=0-2<0，所以，极值是极大值。因此，最大面积是z=3*（6-3）=9，此时是正方形。

可以适当推广这个推论，“当矩形的长和宽有约束条件时，正方形的面积最大”。

我们做一道几何题。有1/4个圆，半径是2，圆弧上的一点P与两条垂直的半径围成的矩形，周长最长是多少，最短是多少？面积最大是多少，最小是多少？

当点P在圆弧的边界时，显然，围成的矩形面积是0，最小值；周长是2 0 2 0=4，应该是最短周长。

当点P在圆弧的中间时，围成的是正方形，边长是（r^2/2）^(1/2)=2^(1/2)。周长就是4*2^(1/2)，也是最长周长；面积是2，最大面积。

一般函数都是单调函数，所以，两个边界点，要么是最大值，要么就是最小值。当然，还有特殊点，一阶导数为0的点，是极大值或者极小值。这个一般常识不能忘。