我们知道,自然界和人类社会的大部分统计结果,都会满足正态分布,也就是必然呈现出中间高,两边低的分布,而且几乎对称。如图
我们还知道标准正态分布的密度函数解析式为
不过,我们知道这个公式,仅仅是因为书上这样介绍,到底为什么正态分布的密度函数解析式会长成这个样子呢?且让我们一起来猜一猜。正态分布应该满足以下条件:
首先,标准正态分布应该满足“关于y轴对称”,所以公式中必然有
其次,标准正态分布,当x=0时,ymax,所以公式中应该是-
第三,不管x→-∞,还是x→ ∞,函数都应该为正,所以公式可以用指数式表达,当然,最方便的还是
第四,作为一个概率分布,其面积之和为1,即
此时一个大人物出场了,他就是高斯,高斯说,我知道
好吧,我知道你不满意,为什么高斯积分
作个极坐标变换,令x=rcosθ,y=rsinθ则
这里用到了积分的极坐标变换,其公式为x=rcosθ,y=rsinθ,dxdy=rdrdθ
关于双重积分和极坐标变换,有机会以后再专门来介绍。
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