标准正态分布的密度函数

我们知道，自然界和人类社会的大部分统计结果，都会满足正态分布，也就是必然呈现出中间高，两边低的分布，而且几乎对称。如图

我们还知道标准正态分布的密度函数解析式为

不过，我们知道这个公式，仅仅是因为书上这样介绍，到底为什么正态分布的密度函数解析式会长成这个样子呢？且让我们一起来猜一猜。正态分布应该满足以下条件：

首先，标准正态分布应该满足“关于y轴对称”，所以公式中必然有

项。

其次，标准正态分布，当x=0时，ymax，所以公式中应该是-

第三，不管x→-∞，还是x→ ∞，函数都应该为正，所以公式可以用指数式表达，当然，最方便的还是

第四，作为一个概率分布，其面积之和为1，即

此时一个大人物出场了，他就是高斯，高斯说，我知道

好吧，我知道你不满意，为什么高斯积分

？

作个极坐标变换，令x=rcosθ,y=rsinθ则

这里用到了积分的极坐标变换，其公式为x=rcosθ,y=rsinθ,dxdy=rdrdθ

关于双重积分和极坐标变换，有机会以后再专门来介绍。