2021年新高考全国Ⅰ卷解析几何题的探究

陈 磊

(江苏省扬州大学附属中学，225002)

解析几何中的四点共圆问题一直是高中数学竞赛中的热点问题.其实这类问题在高考中也有所考查,例如2011年全国卷(大纲版)第22题、2014年全国卷(大纲版)第22题以及2021年全国新高考卷第21题.这类问题重点考查解析几何的基本思想方法,但用“通法”解决时运算过程较为繁琐,多数学生“望题兴叹”.笔者通过对这类问题的探究,给出一种运算量较小的方法.

一、解法赏析

例1 (2021年全国高考题)在平面直角坐标系xOy中,已知点

点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.

(1) 求C的方程;

(2) 设点T在直线

上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA||TB|=|TP||TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

解

(过程略)

(2) 解法1 设点

直线AB的方程为

联立直线AB与椭圆C的方程,化简并整理可得

所以

不妨设1≤x1<x2,则易知弦长

同理可得弦长

所以

|AT||BT|

设直线PQ的斜率为k2(k2≠k1),同理得

又|TA|·|TB|=|TP||TQ|,所以

化简可得

即k1=-k2,得所求斜率之和k1+k2=0.

评注 此法以T为主动点,通过联立直线与曲线方程,借助韦达定理求出|TA||TB|,同理得|TP||TQ|,再由|TA||TB|=|TP|·|TQ|化简得出结论.解题思想简朴,属于通法,但运算较繁琐.

解法2 设点

直线AB的参数方程为

 θ,y=m+tsin θ,其中0<θ<π.将其代入C的方程并整理,可得(16cos2θ-sin2θ)t2+(16cos θ-2msin θ)t-(m2+12)=0.由题易知方程两根t1,t2同号,故

设直线PQ的倾斜角为β∈(0,π),同理得

故由条件可得

即cos2θ=cos2β. 显然θ≠β,故cos θ=-cos β,即θ=π-β,从而直线AB与PQ的斜率之和为0.

评注 解法2引入直线AB的参数方程,由参数的几何意义求|TA||TB|和|TP|·|TQ|,大大降低了运算难度.

解法3 由|TA||TB|=|TP||TQ|可知A,B,P,Q四点共圆,设此圆方程为x2+y2+a x+b y+c=0.根据曲线系方程知识,可设过A,B,P,Q四点的二次曲线方程为

16x2-y2-16+λ(x2+y2+ax+by+c)

=0.

①

设直线AB与的PQ方程分别为px+qy+l=0,mx+ny+k=0.由于A,B,P,Q分别是直线AB与PQ上的点,所以A,B,P,Q应在由AB和PQ所生成的二次曲线系上,即方程① 可写成

(px+qy+l)(mx+ny+k)=0.

②

由①可知方程② 的展开式中不含xy项,故pn+qm=0,即所求斜率之和为0.

评注 此法先发现条件中|TA||TB|=|TP||TQ|等价于四点共圆,从而采用曲线系的方法解决问题,运算过程特别简单,是此类问题的高效解法.

二、拓展探究

对试题进行一般性探究,可以发现圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件:

结论 已知两条直线l1,l2与圆锥曲线Γ相交于A,B,C,D四个不同点,则A,B,C,D四点共圆的充要条件是直线l1与l2的倾斜角互补.

证明 不妨以椭圆为例,设椭圆方程为

b2x2+a2y2-a2b2=0(a>b>0).

先证充分性.若直线l1与l2的倾斜角互补,设l1的方程为Ax+By+C=0,l2的方程为Ax-By+D=0,则过A,B,C,D四点的曲线系方程为(Ax+By+C)(Ax-By+D)+λ(b2x2+a2y2-a2b2)=0,即(A2+λb2)x2+(λa2-B2)y2+A(C+D)x+B(D-C)y+CD-λa2b2=0.令A2+λb2=λa2-B2,得

此时曲线系中相应曲线表示一个圆,故A,B,C,D四点共圆.

再证必要性.若A,B,C,D四点共圆,设圆方程为x2+y2+px+qy+r=0,则过A,B,C,D四点的曲线系方程可表示为

x2+y2+px+qy+r+λ(b2x2+a2y2-a2b2)=0.

③

设直线l1的方程为A1x+B1y+C1=0,直线l2的方程为A2x+B2y+C2=0,则过A,B,C,D四点的曲线系方程又可表示为

(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0.

④

由③式的展开式中不含xy项,得④式的展开式中也不含xy项,故A1B2+A2B1=0,即直线l1与l2的倾斜角互补.

当曲线为双曲线或抛物线时,同理可证.

三、应用举例

例2 (2011年全国高考题)如图1，已知O为原点,F为椭圆

在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为

的直线l与C交于A,B两点,点P满足

(1) 证明:点P在C上;

(2) 设点P关于点O的对称点为Q,证明:A,P,B,Q四点共圆.

解 (1) 直线AB的方程为

易求得点P坐标为

(具体过程略),故点P在C上.

(2) 由(1)可知直线PQ方程为

故可设过A,P,B,Q四点的曲线系方程为(y-

即

=0.

⑤

当λ=3时,方程⑤ 即为

表示圆.故A,P,B,Q四点共圆.

例3 (2014年全国高考题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且

(1) 求C的方程;

(2) 过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点共圆,求l的方程.

解 (1)y2=4x.(过程略)

(2)解法1 由A,M,B,N四点共圆及上述证明的充要条件,得直线AB和MN的倾斜角互补,斜率之和为0.设直线l的方程为y=kx+b1,直线l′的方程为

则有

解得k=±1.由点F(1,0),可知l的方程为y=±(x-1).

解法2 设直线l的方程为y=kx+b1,直线l′的方程为

则过A,M,B,N四点的曲线系方程可表示为

=0.

⑥

又A,M,B,N四点共圆,要方程⑥ 中不含xy项,只要

即k=±1.所以直线l的方程为y=±(x-1).

评注 例2和例3若采用通法求解时过程复杂、运算繁琐, 而采用曲线系方程法虽然比较抽象,但运算过程简单,是解决这类问题一种“简便”方法.当然,用参数方程的几何意义解决这类问题也不失为一个好方法.

参考文献

[1]林咸君. 解析几何中四点共圆的应用[J]. 中学数学教学参考, 2018(12)：25-26.