【高三】2023届高三一轮第八章直线与圆、圆锥曲线8.6直线与椭圆【新高考高中数学】

壬寅 ·十一月一日

高三一轮复习

内容

   第八章8.6直线与椭圆

适用

高三

备注

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考试要求　1.理解直线与椭圆位置关系判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.了解直线与椭圆相交的综合问题．

知识梳理

1．直线与椭圆的位置判断

将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0.

2．弦长公式

设直线与椭圆的交点坐标为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则|AB|＝|x₁－x₂|＝

或|AB|＝|y₁－y₂|＝，k为直线斜率且k≠0.

常用结论

已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)．

(1)通径的长度为.

(2)过左焦点的弦AB，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x₁＋x₂)；过右焦点弦CD，C(x₃，y₃)，D(x₄，y₄)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x₃＋x₄)．(e为椭圆的离心率)

(3)A₁，A₂为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A₁，A₂的任一点，则.

(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则k_OM·k_AB＝－.

(5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则k_PA·k_PB＝－.

(6)点P(x₀，y₀)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1.

题型一　直线与椭圆的位置关系

思维升华　判断直线与椭圆位置关系的方法

数．

(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．

题型二　弦长及中点弦问题

命题点1　弦长问题

思维升华　解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路

题型三　直线与椭圆的综合问题

思维升华　(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．

(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

<全文完>