分析:我们完全可以用计算机来模拟上述过程,每找到一个要删除的数,需要扫描m次,总共删除n-1个数,所以总得扫描次数为m*(n-1)。这是一个平方级的复杂度,下面来考虑如何对它进行改进。
改进:上述模拟过程效率低的原因是,每次找到要删除的数都要进行m次的查找,怎么来减少查找次数?可我们又注意到,可以通过计算来找到那个要删除的数,比如第一次删除,(m-1)%n的结果即为要删除的数。可删除了该数以后怎么办呢?下面的计算应当怎么进行呢?
归纳:假设在某一时刻删除的数为第k个,并且知道k前面有A个数,k后面有B个数,那么可以对A,B进行运算而求得下一次应当删除的数是哪一个?现在问题变为,如何统计A,B的信息。。。。。
导致上述归纳行不通的原因自己分析如下:1.归纳基础不恰当 2. 这样归纳下去得到的结果是想要的吗? 3. 信息不够,导致分析不能继续进行下去,所以得从题目中挖掘出更多的信息,明确题目最终要求的是什么。如何来过掉这道坎?
再归纳:题目要求最后剩下的一个数(用last表示),也就是这个数是第几个,在(0,1,…,n-1)的位置是多少。明确了题目中的信息,所以我们要对这个数进行归纳。假设知道这个数在剩下的k个数中的位置,怎么来求得它在剩余K+1个数中的位置,这样一步一步推导出它在有n个数中的位置,即为所求。为什么能这样归纳,因为这个最后剩下的数在所有删除过程中有幸存活下来,只不过每次删除了一个数,它的位置就变了,知道最后,它的位置为0(只剩一个数了)。
现在来分析删除第一个数后,last这个数的位置已之前有什么样的关系。在这n个数字中,第一个被删除的数字是(m-1)%n,为简单起见记为k。那么删除k之后的剩下n-1的数字为0,1,…,k-1,k+1,…,n-1,并且下一个开始计数的数字是k+1。相当于在剩下的序列中,k+1排到最前面,从而形成序列k+1,…,n-1,0,…k-1。
k+1 -> 0
k+2 -> 1
…
n-1 -> n-k-2
0 -> n-k-1
…
k-1 -> n-2
现在我们知道了有n-1个数时last的位置,记为f(n-1,m),那么如何来求得f(n,m)关于f(n-1,m)之间的关系?用X,Y来表示,如下:
Y X
k+1 -> 0
k+2 -> 1
…
n-1 -> n-k-2
0 -> n-k-1
…
k-1 -> n-2
y=( x+k+1) %n
k = (m-1)%n
所以y=(x+m)%n,最终关系如下:
0 n=1
f(n,m)={
[f(n-1,m)+m]%n n>1
联系客服