(2011·河北)如图,四边形ABCD是正方形,点E,K分别在BC,AB上,点G在BA的延长线上,且CE=BK=AG.
(1)求证:①DE=DG; ②DE⊥DG
(2)尺规作图:以线段DE,DG为边作出正方形DEFG(要求:只保留作图痕迹,不写作法和证明);
(3)连接(2)中的KF,猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想:
(4)当
= 时,请直接写出
的值.
【分析】(1)由已知证明DE、DG所在的三角形全等,再通过等量代换证明DE⊥DG;
(2)根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F,得到正方形DEFG;
(3)由已知首先证四边形CKGD是平行四边形,然后证明四边形CEFK为平行四边形;
(4)由已知表示出
的值.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴DC=DA,∠DCE=∠DAG=90°.
又∵CE=AG,
∴△DCE≌△DAG,
∴DE=DG,
∠EDC=∠GDA,
又∵∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠ADE+∠GDA=90°
∴DE⊥DG.
(2)解:如图.
(3)解:四边形CEFK为平行四边形.
证明:设CK、DE相交于M点
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,
∴AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥DG,
∵BK=AG,
∴KG=AB=CD,
∴四边形CKGD是平行四边形,
∴CK=DG=EF,CK∥DG,
∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°,
∴∠KME+∠DEF=180°,
∴CK∥EF,
∴四边形CEFK为平行四边形.
(4)解:∵
= ,
∴设CE=x,CB=nx,
∴CD=nx,
∴DE
2=CE
2+CD
2=n
2x
2+x
2=(n
2+1)x
2,
∵BC
2=n
2x
2,
∴
=
=
.
【点评】此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图,解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论,此题较复杂.
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