Oa为摆线轮的圆心，ra为摆线轮的节圆半径，Ob为针轮的圆心，rb为针轮的节圆半径．若假设摆线轮是固定不动的，针轮的节圆相对于摆线轮的节圆作无滑动的滚动( 这与实际运转情况是相反的) ，针轮齿中心Ob位于针轮节圆之外，它的运动轨迹是摆线轮的理论齿廓，而摆线轮的实际齿形是针轮齿中心形成的理论齿廓的法向等距线，两者的法向距离等于针齿套半径rz 。
取坐标系XOaY 如图1 所示，中心在摆线轮的中心Oa处．当转臂( 其长度等于偏心距
A = rb －ra) 相对摆线轮顺时针转动θa ．从初始位置转到图示位置时，针轮以其节圆的内圆周在摆线轮节圆的外圆周上相对滚动φ ，针轮的中心Ob从初始位置滚到图示位置．在坐标系XOaY 中，OaM 的矢径为: OaM = OaOb + ObM 。
摆线轮的齿廓曲线
把该矢量等式投影到坐标轴上得M 点运动轨迹的坐标方程:
摆线轮的实际齿形是方程的法向等距线，即为半径是的rz针齿套外圆上点的运动轨迹。 在图示位置，M 点是针齿套上外圆上K 点的运动轨迹．在图示位置，K 点是针齿套与摆线轮齿形的接触点，因为该点的法线PM 通过节点M ( 圆的切点) 。
摆线轮实际齿形上任一点K 的矢径为:
OaK = OaOb + ObK
投影到坐标轴上得摆线轮实际齿形方程:
把关系式( 1) 代入得:
式中，rz为针齿套半径，γ 为摆线轮齿形角．。即K点处法线与y 轴的夹角。
由于( 1) 与( 3) 是法向等距曲线，在对应点它们有共同的法线，因而对应点的切线倾角( 齿形角) 相等．即存在下列关系:
既得，下面是式子：
至此，摆线齿形方程就得到了。公式其实并不复杂，用matlab编写一个脚本，画一个摆线轮看看：
只改变针齿半径的大小，看看摆线的变换，如下图：
其他参数不变，仅仅改变偏心距再来看看：
可以看出偏心距越大，曲线“凹入”的越厉害，当偏心距为8时，计算出的曲线已经发产生了异形，不过图看着还挺喜庆的，成开口笑了。
还有复杂一些的“二齿差”摆线轮，它是由另个相位相差半个周节的“一齿差”摆线轮齿齿廓相交而成，齿顶理论为尖点，齿顶需要修正。
齿顶的修正问题是一个相对复杂的问题，今天不在这展开了。下面是别人做的一套RV减速器的三维模型，可以很好的帮助我们理解RV减速器的内部结构，有兴趣的小伙伴可以私信我。
之前也发过一个直接输入参数可以在CAD中绘制摆线工具的文章《齿轮绘图工具，效率提升不是一点点！》，比较方便绘制及后续三维建模。
我是woodykissme，定期分享有关，机械传动及齿轮加工方面的内容，对这方面感兴趣的小伙伴，可以关注我。希望能够与大家讨论一下：
齿轮的设计及加工方法，加工齿轮所用的刀具设计、制造及使用方面的相关问题。
今天就分享到这，感谢您抽出宝贵的时间阅读！
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