积分就是还原dy，= y 在讲微分的时候讲过积分的符号，它是由Summation --> S 演变而来。
是积分符号，
是积分式
y = x² + x + 1的导函数是 y' = 2x + 1，导函数也可以用莱布尼茨符号表示 = 2x + 1
由= 2x + 1推导出 dy = (2x + 1) * dx （变化率的估计），积分表示为dy = 
2x+ 1 dx，2x + 1被称作“被积分函数”
被积分函数 2x + 1 反推原式 x² + x + C ( C为未定常数 )，C可以是任一常数，所以被积分函数反推的式子可以是无穷多的
积分就是要还原微分，或者说做积分的动作相当于反过来的微分
接着看这个式子2x+1 dx = x² + x + C x² + x + C是 2x + 1所有可能的反导函数
像 x² + x 是 2x + 1的一个反导函数， x² + x + 1，x² + x + 2，x² + x - 1001 等等都是 2x+1的反导函数
由此可推出：n项多项式 dx = x²+x+C 左边有一个积分符号和dx，中间是n项多项式，右边推导的反函数有常数项，可以对应无穷多个反函数，称为这样的式子叫(不定)积分
看几个不定积分的例子：x+1 dx = x² + x + C ；+3x²-4x-6 dx =
- 2x² - 6x + C
积分的基本公式dx = [] + C（r≠-1） 验证一下这个公式：[]' = [] = 需要注意的是该公式的r≠-1，因此不能做被积分函数
自由落体是只受重力(如地球吸引力)等的加速运动，速率成比例的加快。公式为= -9.8t
公式中的 - 代表速度朝下的，公式可以理解为自由落体时，当时间为 t (sec)时，下降时的速率为 9.8t ( m/sec )
看一个例子：x = x(t)，为瞬间 t 的高度(m)。假设 x 从1000m下落，求10秒后 x 有多高，几秒x落地
解： x = dt = -9.8t dt = -4.9t² + 1000 （ x 为当时间是t时的高度）
当 t = 10 时，x(10) = 510，即10秒后 x 有510m高
-4.9t² + 1000 = 0
t² = ≈ 204
t = ≈ 14.3(sec)
即大约14.3秒落地
定积分表示为dx，不定积分表示为dx
定积分算出来是一个数，，是 f(x) 对 x 从 a 到 b 的积分；不定积分算出来是一个函数
举一个例子：f(x) = （变化率，这里指速度），y = F(x) 是某物体在时间 x (sec) 的位置(m)；由此可推出= F'(x) = f(x)，F 是 f 的一个反导函数 =运动后从时间 a 到时间 b 的位移 = F(b) - F(a)
不定积分：可推出F，常数无穷多
若f(x)是F(x)的导函数(F的变化率) f(x) = F'(x) = dx = dx = dF = F(b) - F(a) 定积分：求 x = a 到 x = b 的数
变化率在物理上最常见的是指速度(F 位移)，变化率在金融主要是指边际利润(F 利润，x 销量)、边际成本
若 f(x) 表示高度(m)，x 表示宽(m)
f(x) dx = F(b) - F(a) = f(x)图形在 a, b之间，在 x 轴上方的面积
看一个例子：高f(x)=2,求 x 轴从 0 到 3 的面积。该例用求解长方形面积的方法很好求解：长方形的面积 = 宽*高 = 2*3 = 6
现在熟悉下定积分求解面积：f(x) dx = 2 dx == [2*3] - [2*0] = 6
再看一个例子，求下图直角三角形的面积
解：dx = == [* 2²] - [* 0²] = 3
即直角三角形的面积是 3
首先了解一个概念：供需曲线包括需求和供给，是price(价格)与供应量需求量的数学模型
假设需求 P = 0.4x² - 2x + 6
供给 P = 0.6x² + 1
(x：需求量或供给量(万件)；P：价格（元）)
看上图，需求量曲线和供应量曲线交汇的地方达到了供需平衡，以 y = 为分割线，和需求量交汇的面积叫消费者剩余，和供应量交汇的面积叫生产者剩余
消费者剩余的面积：0.4x² - 2x + 6 - dx
生产者剩余面积： - 0.6x² - 1 dx
、、...，这些数的平均值为=
* n = 总和
看下图，求 y = x²在 x ( 0 ≤ x ≤ 2)之间的平均值为多少
如果长方形的面积等于连续函数的面积，则认为高为平均值（注：这是经过多轮演算推理的经验所得）
f(x) 在 x 的 a 与 b 之间的平均值定义为： = dx = dx =
* - * =
连续函数的面积转换成长方形的面积，长方形的高就是平均值。∴ =
假设某地工作人口收入占比如下表
年收入（万元）
0~3 | 3~10 | 10~20 | 20~40 | 40~60 | 60以上 |
13% | 24% | 28% | 21% | 10% | 4% |
年收入0~20万占总工作人口的比例可以表示为 P(0~120) = 65% 可以将比率看作面积，用直方图表示的时候x轴数值范围不断缩小(x轴数值细化，比如0~1，1~2，2~3······)，顶端会有平行，从0~60像一个抛物线。
将抛物线称做机率分布函数(pdf，probibility distaibution function)
在机率分布函数中抽取一个样本 P( a ≤ x ≤ b )， 抽取的样本可用定积分表示
P( a ≤ x ≤ b ) = f(x) dx 当在a ≤ x ≤ b这个区间找精确的值会发现得到的数是0
如当P(x = a) = f(x) dx = F(a) - F(a) = 0
数学概念上有误差，但是也不可以太大。比如 x = a 在 a ≤ x ≤ b 找不到，可以给 x = a加误差，这样 x = a也会在这个误差范围内找到
假如 P( x = a ) P( a -≤ x ≤ a + )
P( x = 10 ) P( 9.95 ≤ 10 ≤ 10.05 ) = f(x) dx
当 P (x ≥ 60 ) 时 ，P (x ≥ 60 ) = f(x) d(x)
当 P(x ≤ 10 ) 时，P( x ≤ 10 ) = f(x) d(x)
由此可推出，pdf(机率分布函数)的性质为：① f(x) ≥ 0；②f(x) d(x) = 1 = 100%
先记住一个重要的式子： = *
若 y = - x + 1
y = =[- x + 1 ] = 3x² - 1
是一个算子，是一个动作，对 x 进行微分
接着往下看，y = - x + 1，对 t 进行微分
y = [- x + 1 ]
= [- x + 1 ]
= [ 3x² - 1 ]
若 x 与 t 无关，= 0 = 0
若 x 与 t 有关,则为相关变化率
吹气球若每分钟吹气 80 cc/min，求时间 t 时，吹的半径是多少
解：球的体积公式：V() =
对时间 t 进行微分，=()
除了时间 t ，r 也是未知数，∴ =() *
= (4r²) *
= =
结合题意可知：= 80 cc/min，为气球某一时间内的半径放大率(cm/min)
①当 t = 1 时，V = 80 由V() = 得 r = ≈ 2.8
则当 t = 1 时， ≈ = = 0.83 cm/min
②当 t = 3 时，V = 80 * 3 = 240 由V() = 得 r = ≈ 3.9
则当t = 3 时， ≈ = = 0.42 cm/min
设利润 P = 500x - ，x 为数量；每天多卖10个，则可表示为= 10 个/天
当日销售量为500时，求利润变化率(元/天)
解：= (500 - )
= (500 - ) *
= ( 500 - ) *
当日销售量为500，即 x = 500 时，
= （500-）* 10
= 2500 元/天
∴ 当日销售量为500时，利润变化率为2500 元/天
再看一个例子，若边际利润等式为= 3500 - 0.02x（P：利润（元），x：销量（个），边际利润的意思是每多卖出一个产品，利润就会多赚多少钱
问销量从100增至110，多了多少利润？
解：P(110) - P(100) = dx = dx = = [3500*110 - 0.01*(110)²] - [3500*100 - 0.01*(100)²] = 384879 - 349900 = 34979 元
即销量从100增至110，多了34979元利润
看一个特例，已知 y = 1 - x²，x ∈ [-1, 1]，求[-1,1]之间抛物线的面积
解：dx = = [1-*] - [ (-1) -*] =
即[-1,1]之间抛物线的面积是
阿基米德与罗马军队作战时制作了弓箭等防御性、攻击性武器，像在制作弓箭时也用到了数学知识。看下图抛物线，像是一个弓箭，怎么求'弓箭'的面积呢？
求“弓箭”面积可以先求 y = x² 中(a²，a²)，(b²，b²)，(a，0)，（b，0）四个点围成的面积
看这四个点围成的面积像一个倒放的梯形，其中b²是下底，a²是上底， b-a是高
梯形的面积是=
梯形中'弓箭'外面的面积可用抛物线的定积分求解：f(x) dx = x² dx = =
[] - [] =
则'弓箭'的面积为 -=
==
==+
=-
=(-)
=()
=（）
=
假设成本模型 C(t) = 0.15t² + 0.2t + 400 (千元)
t 指月份 0，1，2，... 24
求这两年的平均成本
解：这两年的平均成本 = 0.15t² + 0.2t + 400 dt 这个计算式可以用Maxima计算，这里不在详细阐述了
至此，微积分的学习告一段落了，下一章节开始概率论的学习
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