认识数学的“知识线”,以“上帝”的视角学习数学。
中学期间的数学知识,从有理数到实数、从数到式、从有理式到无理式、从各种函数到各种方程、从平面几何到立体几何,期间再穿插集合、逻辑用语、推理与证明、不等式、数列、概率统计、三角函数……,知识点一个接着一个,感觉就是一个“知识爆炸”、感觉就是一个“GAME OVER”的状态。这些知识点在大多数学生头脑中,就好像“记忆碎片”,感觉无论怎么复习总结,总形成不了系统。在考前总复习的阶段,老师家长们总是提醒“查漏补缺”,“是的,GOOD IDEA, 但是,都不知道漏在哪,怎么补缺!”。
难道没有办法了吗?有,这个办法就是“知识先后的逻辑性”,就是要按照一定的“知识线”,把所学到的知识点理得如同“自然数集”一样,打开n,自然就想到了n+1;想要认识n,就必须要认识n-1。
以初中数学的一条知识线为例做一总结。
知识线——数、式、函数
0 回顾小学:小学数学,用很少的篇幅,让学生们认识了负数和代数式,但是,没有给出一般定义式,学习的知识主要还是在正数(正整数、正分数)及其四则运算。
1 进入初中,第一个知识点就是引入负数的概念:在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。负数的引入是初中数学的开始!
2 有了负数后,就可以定义有理数了。如此,我们对数的认识扩充到了有理数范围。
3 为了用画图的方式把数“直观化”,于是就引入了数轴。
4 数轴要具备三点要素:原点、方向、单位长度。
5 观察数轴上关于原点的对称点,我们引入了互为相反数的概念。
6 观察数轴上点到原点的距离,我们引入了绝对值的概念。
7 实际上互为相反数和绝对值的引入,是为了有理数的比较和四则运算的引入。
为什么这么说呢,因为有理数的加减法则,是与有理数的相反数和绝对值概念有关的。有理数的乘法法则是与有理数的绝对值概念有关的。
8 为了引入有理数除法的法则,先引入了倒数的概念。
9 最后,再引入一种新的运算——乘方,有理数的运算就都包括了。
10 乘方(幂)运算的一种实际应用——科学计数法。
11 有理数混合运算的方法:遵循的运算次序及运算律。
关于数的知识可以进阶为代数式的知识。
12 整式包括单向式和多项式,整式的基本运算是合并同类项,即简化整式。
13 整式的加减法运算:去括号和合并同类项。
14 方程(含有未知数的等式)及一元一次方程的概念。
15 解一元一次方程所必须的基础知识:等式的两个基本性质。
16 解一元一次方程的基本方法:合并同类项和移项、去括号和去分母。
17 引入算术平方根(正数)及平方根,立方根的概念。
18 进一步引入无理数,实数的概念。如此,我们对数的认识扩充到了实数范围。
19 实数与数轴上的点一一对应。(实数是连续的)
20 有序实数对与平面直角坐标系上的点一一对应,平面直角坐标系概念的引入,为函数的引入打好基础。
21 方程知识的扩充:二元一次方程组、三元一次方程组的解法:带入消元法和加减消元法。
22 将等式中的等号换成大于或者小于号,引入不等式的概念及不等式的解。
23 解不等式的基础是三个不等式的基本性质(可加(减)性和可乘(除)性)。
24 解一元一次不等式及一元一次不等式组。
25 为了多项式的乘法,先引入同底数幂的乘法的概念、幂的乘方的概念、积的乘方的概念。
26 为了多项式的除法,还需引入同底数幂除法的概念。
27 有了以上概念,多项式的乘法、除法应声而出。
28 多项式的运算最后的结果要求是最简多项式。还有一种相反的运算,即因式分解。
29 几个常用的乘法公式。
30 分式的概念,分母中含有字母。
31 分式的性质。
32 分式的运算。加减、乘除、乘方。
33 分式方程。分式方程的解一定要检验。
34 二次根式的加减、乘除运算,运算结果要化简为最简二次根式。
35 函数、定义域、值域。
36 函数的表达方式。函数的图像。
37 函数的一般性质:单调性、奇偶性、周期性。函数图像的平移。
38 正比例函数:函数的表达式、图像和性质。
39 一次函数:函数的表达式,图像和性质。
40 一次函数与一次方程,一次不等式的关系。
41 反比例函数:函数的表达式、图像和性质。
42 一元二次方程的解,配方法、因式分解法、公式法。
43 一元二次方程根与系数的关系。
44 二次函数:函数的表达式,图像和性质。
45 二次函数与一元二次方程。
结束。
当初在陪孩子中考、高考期间,对于中学数学知识点做过详尽、深入的总结。感觉内容太多,后来也在思索,到底该怎么理清这么多的知识点。
今天做这个文章,希望能做到抛砖引玉的作用。
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