激发你的思考，一些有意思的数学趣题

有些看似简单的问题下面都蕴藏着深刻的数学知识。下面分享一些有意思的数学趣题，这些题都能拓展你的思维，激发你的思考能力。

1. 每个小点都会回到自己原来的位置吗？

仔细看一下下面的图，注意每个点并不是只沿着一条回路运动，而是沿着三条交叉的回路运动。现在的问题是，每个小点最终都会回到自己原来的位置吗？

[解析]

首先答案是肯定的，所有的小点最终都会回到自己的位置，甚至在某一个特定的时刻，所有的小点会同时会到自己的原来的位置。

反证法可以给出一个非常简单的证明：如果某一位置，小点无法回归，那么这个小点就会占用一个新的位置。因为一个点三步一个重复，因此每三步就会一个新的小点从这个位置出发。而从这个小点出发的点，都无法回到自己原来的位置，这样图形中的点位置就会被逐渐消耗殆尽。显然跟实际情况相反的。

熟悉群论的朋友可能一眼就能看出，这个图形形成了典型的置换群。根据置换群的性质，置换群的幂次终会回到单位群。因此不仅点会回到原来的位置，而且会同时回到原来的位置。事实上，有限群的任意一个元素都有一个有限的阶，因此如果某类操作能构成一个有限群，那么经过不断的一个重复或几个重复操作，你会惊奇地发现，一切又回到原样了。比如，你拿一个已经还原了的魔方，经过不停的N次重复的操作，魔方最终会还原成原样。

2. 空间能力想象挑战：你能把左图连续变成右图吗？

拓扑学里面又一个叫做“同痕”的概念，这个概念并不容易把握，但是下面这个例子可以很好地诠释这个概念。如下图所示：左图是一个有三个空洞的图，而右图是一个挖了三个通道的立方体，其中一个在另外一个上绕了一圈。神奇的是二者是同痕的，即左图可以通过变换连续变成右图。你能想象变换过程吗？

从右图出发，让左起第一个通道的两头靠在第二个通道上，并在第二个通道上滑动。把上面的那头沿着第二个通道滑到底面，把下面的那头沿着第二个通道滑到顶面，你会发现此时立方体内的通道不再打结了。接下来，把通道都拉直，把整个立方体拍扁了捏一捏，弄成环状，就变成左图了。

3. 年度最变态迷宫难题

这个迷宫难题曾经被评为2011年年度最难最变态的迷宫难题。这个迷宫题看起来非常简单，如下图所示：

从左边入口处的 2011 进去，在迷宫里转悠，最后变成 2012 从右边出来。你可以在迷宫里转圈，可以重复之前走过的路，但不能往回退着走。

[解析]

2011 +7 ÷2 +7 ÷2 +7 -5 ×3 ÷2 +7 ÷2 +7 ×3 -5 ÷2 +7 ÷2 +7 -5 ×3 -5 ×3 ÷2 +7 -5 ×3 ÷2 +7 -5 = 2012

4. 不断把凹的部分翻出来，总能把凹多边形变凸吗？

如图是一个凹多边形，而且凹得相当厉害。一个完美主义者很难容忍这么一个图形，总想着要把凹进去的部分翻出来，把它还原为一个凸多边形。不幸的是，翻折之后的结果仍然不是凸多边形，图中又产生了新的凹陷。于是，我们想继续把凹进去的部分往外翻，直到整个图形变成凸多边形为止。问题是，这个过程有完吗？换句话说，我们一定能通过有限多步翻折，把凹多边形变成凸的吗？

这个问题有着非常纠结复杂的历史。这个问题最早可能是由数学家 Paul Erd?s 正式提出的。 1935 年，他在 American Mathematical Monthly 上猜想，经过有限步翻折之后，凹多边形一定能变凸。 1939 年， Béla Sz?kefalvi-Nagy 给出了一个证明。因此，这个结论又叫做 Erd?s-Nagy 定理。有趣的是，这个问题是如此的自然，以至于在此之后，又有一大堆人重新提出并研究了这个问题，而且他们明显并不知道相互之间的已有研究。这事儿给我们带来的好处就是，我们有了 Erd?s-Nagy 定理的好几种截然不同的证明方法。不过，这些证明或者太长，或者太高深，或者又有些漏洞。 1999 年， Godfried Toussaint 从这些证明中取长补短，给出了一个比较初等的证明。

5. 怎样调整，使大家的糖一样多

n 个小朋友在圆桌上坐成一圈。初始时，每个小朋友都拥有一定数量的糖。接下来，反复进行下面两个操作：

1. 如果有人手里的糖数是奇数，就向老师再要一颗糖，把手里的糖数补成偶数；

2. 每个人都把自己手中一半的糖传给他右边的人（同时接到从左边传过来的糖）。

证明：总有一个时刻，所有小朋友手中都会拥有相同数量的糖。

[解析]

在第一次传糖之前，每个人手里的糖数都会被补成偶数。因此，我们可以直接假设初始时所有人手里的糖数都是偶数。把所有人手中的糖数的最大值记作 M 。下面，让我们考虑任意一个小朋友，假设他手中的糖数为 a ，他左边的人手中的糖数为 a’ 。第一次传糖之后，这个人手里的糖数就变成了 (a + a’) / 2 。由于 a 和 a’ 都不超过 M ，因而要么 (a + a’) / 2 正好等于 M （但由于 M 是偶数，因此他不能再向老师要糖了），要么 (a + a’) / 2 将会严格小于 M （即使之后再向老师要一颗糖，最多也只能刚好达到 M ）。因此，在第二次传糖之前，每个人手中的糖数仍然都不超过 M 。由此可见，不断继续下去，今后任何人在任何时刻手中的糖数都不会超过 M 。

这表明，所有人的糖数之和有一个上限。因此，小朋友们手中的总糖数不会无限制地增加，总有一个时候，所有人都不再得到新的糖了，整个过程只剩下 n 个数值间简单的迭代。接下来，神奇的一步出现了。让我们考虑在此之后，每一次传糖将导致所有人的糖数的平方和会如何变化：

这说明，如果小朋友们手上的糖数不全相等的话，糖数的平方和将会严格地减少。但是，这个平方和显然不会无限地减少，总会有一个时候，平方和不再变化。此时，小朋友们手上的糖数就都相等了。

6. 旋转的硬币：硬币旋转了几周？

如果有两个一模一样的硬币A和B，边缘紧贴着放在一起。如果让硬币B保持不动，让硬币A贴着硬币B旋转一周，那么硬币A自身旋转了多少周？

第六题相对比较简单，所以没有给出详细的答案解析。你可以留言讨论，也可以前往脑壳搜索标题找到答案。

养成思考的习惯，每天思考一分钟

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