数学学习，为什么常常“会而不对”？

高中数学的学习与考试中，常常听到学生抱怨自己“会而不对”，困惑于明明平时学习中都能“听懂”、“看懂”，为什么考试的时候就“会而不对”呢？通常教师和学生都会把这种现象归咎于“粗心大意”，可在下次的考试和练习中会发现“会而不对”仍是个顽疾。笔者试对这种现象的表现形式、成因、解决方法进行分析，以期抛砖引玉。

“会而不对”的表现形式

1.审题不清，忽视隐含条件

例设α、β是方程x2-2kx+k+6=0的两个实根，则(α-1)2+(β-1)2的最小值是__________。

【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得：α+β=2k，αβ=k+6，

∴(α-1)2+(β-1)2=α2-2α+1+β2-2β+1=(α+β)2-2αβ-2(α+β)+2=4(k-■)2-■

【正解】利用一元二次方程根与系数的关系易得：α+β=2k，αβ=k+6，

∴(α-1)2+(β-1)2=α2-2α+1+β2-2β+1=(α+β)2-2αβ-2(α+β)+2=4(k-■)2-■。原方程有两个实根α、β，

∴△=4k2-4（k+6）≥0＝＞k≤-2或k≥3

当k≥3时，(α-1)2+(β-1)2的最小值是8；

当k≤-2时，(α-1)2+(β-1)2的最小值是18，所以最小值是8。

评注：数学题目中常常有隐含条件，比如“方程有根隐含△≥0”“变量的隐含范围”……审题过程中应挖掘题目中的隐含条件。

2.考虑问题不全，漏考虑情况

例若方程ax2+x+1=0只有一个根，则a的值为________。

【错解】方程只有一个根所以△=0，则有1-4a=0所以a=■

【正解】首先讨论是否是一元二次方程。

1°a=0时符合题意

2°a≠0时方程只有一个根所以△=0，则有1-4a=0所以a=■

所以综上可得a=0或者a=■。

评注：本题容易错误的原因是忽视考虑△时，首先方程是一元二次方程。考虑问题不够周全，漏考虑a=0的情况。

3.解题方法选择不当，不能选择合适的方法

例已知圆(x-3)2+y2=4和直线y=mx的交点分别为p，q两点，o为坐标原点，则op·oq的值为____

【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx与圆的方程(x-3)2+y2=4消y，

得关于x的方程(1+m2)x2-6x+5=0，令p(x1，y1)，q(x2，y2)，则x1+x2=■，

x1·x2=■，则y1y2=m2x1x2=■，由于向量op与向量oq共线且方向相同，即它们的夹角为0，

所以op·oq=op·oq=x1x2+y1y2=■+■=5

【正解】根据圆的切割线定理，设过点o的圆的切线为ot（切点为t），由勾股定理，则op·oq=ot2=32-22=5。

评注：上述解法正确，也得出了正确答案，但运算繁杂，下面的解法简洁明了。在解决解析几何问题时，不要忽视几何结论，如能熟练运用往往会使得解题过程简洁。

4.基础知识点掌握不牢靠，常见的结论、知识点误记

例判断函数f(x)=(x-1)■的奇偶性为______。

【错解】偶函数f(x)=(x-1)■=■=■=■，所以f(-x)=■=■=f(x)，所以f(x)为偶函数。

【错因分析】上述解法有两个错

误：1未考虑函数的定义域；2.x-1<0，放入根号内后根号前应添负号。

【正解】非奇非偶函数y=f(x)的定义域为：■≥0＜＝＞

(1+x)(1-x)≥01-x≠0＜＝＞-1≤x＜1，定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数。

评注：本题的错误原因在于对判断函数奇偶性的基本步骤这个基础知识点掌握不牢靠，还有部分学生对分式不等式的解法不熟悉。数学中公式众多，故学生在应用中不仅要熟记，还需要熟练应用且要注意公式结论中的隐含条件，才能避免这类“会而不对”。

5.解题不规范

例正方形abcd与正方形abef所在平面相交于ab，在ae、bd上各有一点p、q，且ap＝dq。求证：pq∥平面bce。

【错解】证明

如图所示

作pm∥ab交be于m，

作qn∥ab交bc于n，

连结mn。

∵正方形abcd和正方形abef有公共边ab，∴ae＝bd。

又ap＝dq，∴pe＝qb，

又pm∥ab∥qn，

∴■＝■＝■＝■，

∴■＝■，

∴pm∥qn，即四边形pmnq为平行四边形，

∴pq∥mn.

∴pq∥平面bce.

【错因分析】上述属于典型的“会而不对”，在证明线面平行的过程中应严格交代线面关系，做到规范的去书写。

【正解】在线面平行结论前加上“又mn∈平面bce，pq不∈平面bce”。

评注：笔者在参加的历次改卷中都会发现不少考生这类“会而不对”，比如上述的立体几何的条件交代，比如已知三角函数值求角不交代角度范围，再比如解题跳步等这类扣分。

“会而不对”的成因

1.缺乏良好的解题习惯

良好的解题习惯应涵盖：仔细审题、认真分析、书写规范、注重反思。以上的任何一个环节出了问题都有可能导致“会而不对”，而良好解题习惯的养成应该从平时解题做起，而不是在考场临阵磨枪。

2.缺乏独立思考的习惯

信息时代带来的副作用就是一部分同学平时作业遇到问题时，就会求助于网络，或者求助于老师，缺乏最起码的独立去思考问题这个环节，满足于“看懂”“听懂”……久而久之，到考场上遇到相同问题就会出现“这个题目我好像会，但怎么也想不出来了”，这也是“会而不对”的一个原因。

3.缺乏良好的解题心态

良好的心态是做好题的前提。不少学生在考场常常有压迫感、紧张、手心出汗始终不能静心做题，导致不能发挥应有的水准。

来源： 京江晚报