本文转载自【吴国平数学教育】并得到授权添加原创标志!
二次函数作为初中数学的重要内容之一,在中考数学中,占据着重要的地位。如它可以单独命题,也可以二次函数相关知识内容为背景,结合其他数学知识内容,形成更为复杂的综合问题,像函数综合问题、二次函数与几何综合问题、二次函数的代数应用等等,这些题型都需要考生具有较强的知识应用能力,能把基础基础知识构筑成知识网络等。
每一年中考数学复习,老师都会强调二次函数的重要性,叮嘱学生做好二次函数的复习工作。不过,虽然大家都知道二次函数的重要性,但纵观历年中考数学试卷得分情况来看,很多考生在理解概念、记忆概念以及解题过程中,极易出现概念混淆、公式记忆吃力、解题错误多等问题,造成失分。
因此,今天我们结合教学实践、中考复习策略等,一起来探讨二次函数的复习策略,为大家提高在中考过程中能从容应对二次函数相关问题,提供一定的解题策略。
在中考数学中,二次函数会考什么?一般会涉及到二次函数的概念、图象与性质、函数综合问题、函数与几何等等。其中,函数综合问题、函数与几何是大家关心比较多、接触比较多的题型,往往对二次函数代数方面的应用接触比较少,这就造成一部分考生在考试中,遇见此类问题无从下手,找不到解题思路等。
二次函数作为初中代数的基础内容之一,也是最基础的初等函数,它具有丰富的内涵和外延,如可以用它来研究函数的增减性性、最值、对称性等性质,或是解决实际问题等等。
中考数学,二次函数代数应用,典型例题分析1:
使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如,对于函数y=x-1,令y=0,可得x=1,我们就说1是函数y=x-1的零点.
己知函数 y=x2-2mx-2(m+3)(m为常数).
(1)当m=0时,求该函数的零点;
(2)证明:无论m取何值,该函数总有两个零点;
(3)设函数的两个零点分别为x1和x2,且1/x1+1/x2=-1/4,此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧),点M在直线y=x-10上,当MA+MB最小时,求直线AM的函数解析式.
考点分析:
二次函数;一元二次方程;轴对称;一次函数。
题干分析:
(1)当m=0时,该函数为y=x2-6,令y=0,则得相应的一元二次方程,解该方程即得此时该函数的零点.
(2)令y=0,得一元二次方程x2-2mx-2(m+3)=0,对该方程的根的判别式的变形,可化为△=(-2m)2-4[-2(m+3)]=4(m+1)2+20>0,即得所证结论.
(3)如下图,在直线y=x-10上找一点M,使MA+MB的值最小,只有通过轴对称知识将在直线的同侧的两点转化在直线的两侧,故可作点B关于直线y=x-10的对称点B′,连结AB′,则AB′与直线y=x-10的交点就是满足条件的M点.如何求出点B′的坐标是解决这个问题的关键:因△OCD是等腰直角三角形,故∠B′CD=∠BCD=45°
,从而∠BCB′=90°,即B′(10,-6),最后利用待定系数法就容易求得直线AM的解析式了。
解题反思:
本试卷是双题压轴,这个压轴题综合考查了二次函数、一元二次方程、轴对称、一次函数等诸多知识点,综合性很强,并且是阅读理解题。先通过新定义函数的零点概念,再由此设计由易到难的题组题,目的是考查学生阅读理解能力和解一元二次方程知识、一元二次方程根的判别式、配方法、轴对称、三角形、一次函数等知识。
最后一问绝对具有甄别功能,对基础中等的学生都会感到吃力,要想突破这个难点,只有先找使MA+MB取最小值时的直线y=x-10上的点M,求线段和的最小值就容易想到轴对称。最后利用等腰三角形性质就求出要求直线的另一点的坐标,从而利用待定系数法求得所求一次函数的解析式。
中考数学,二次函数代数应用,典型例题分析2:
一幅长20cm、宽12cm的图案,如图,其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3:2.设竖彩条的宽度为xcm,图案中三条彩条所占面积为ycm2.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的2/5,求横、竖彩条的宽度.
解:(1)根据题意可知,横彩条的宽度为3x/2cm,
∴y=20×3x/2+2×12·x﹣2×3x/2·x=﹣3x2+54x,
即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x;
(2)根据题意,得:﹣3x2+54x=2/5×20×12,
整理,得:x2﹣18x+32=0,
解得:x1=2,x2=16(舍),
∴3x/2=3,
答:横彩条的宽度为3cm,竖彩条的宽度为2cm.
考点分析:
一元二次方程的应用;根据实际问题列二次函数关系式.
题干分析:
(1)由横、竖彩条的宽度比为3:2知横彩条的宽度为3x/2cm,根据:三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积,可列函数关系式;
(2)根据:三条彩条所占面积是图案面积的2/5,可列出关于x的一元二次方程,整理后求解可得。
在求解二次函数代数应用相关问题中,需要大家会求二次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、增减性、最值等等,而要想正确解决这些,有需要大家掌握好一元二次方程、因式分解、运算技巧等相关知识内容和方法技巧,要运用到代数方面许多有关知识和技能去解决问题,这无形之中加大了解题难度。
二次函数代数应用相关问题,具有一定的推理难度,需要考生具备一定的逻辑推理能力。随着中考改革不断加深,此类问题近几年还呈现出立意新颖、抽象程度高、灵活性大、解法多样等鲜明特点。
中考数学,二次函数代数应用,典型例题分析3:
一玩具厂去年生产某种玩具,成本为10元/件,出厂价为12元/件,年销售量为2万件.今年计划通过适当增加成本来提高产品档次,以拓展市场.若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍,今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍,则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0<x≤11).
(1)用含x的代数式表示,今年生产的这种玩具每件的成本为 元,今年生产的这种玩具每件的出厂价为 元.
(2)求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式.
(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元,求当x为何值时,今年的年销售利润最大?最大年销售利润是多少万元?
注:年销售利润=(每件玩具的出厂价-每件玩具的成本)×年销售量.
解(1)10+7x;12+6x;
(2)y=(12+6x)-(10+7x),
∴y=2-x (0<x<2);
(3)∵w=2(1+x)·y=-2(1+x)(x-2)=-2x2+2x+4,
∴w=-2(x-0.5)2+4.5
∵-2<0,0<x≤11,
∴w有最大值,
∴当x=0.5时,w最大=4.5(万元).
答:当x为0.5时,今年的年销售利润最大,最大年销售利润是4.5万元.
考点分析:
二次函数的应用;应用题。
题干分析:
(1)根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍,即为(10+10·0.7x)元/件;这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍,即为(12+12·0.5x)元/件;
(2)今年这种玩具的每件利润y等于每件的出厂价减去每件的成本价,即y=(12+6x)-(10+7x),然后整理即可;
(3)今年的年销售量为(2+2x)万件,再根据年销售利润=(每件玩具的出厂价-每件玩具的成本)×年销售量,得到w=-2(1+x)(x-2),然后把它配成顶点式,利用二次函数的最值问题即可得到答案.
解题反思:
本题考查了二次函数的顶点式:y=a(x-k)2+h,(a≠0),当a<0,抛物线的开口向下,函数有最大值,当x=k,函数的最大值为h.也考查了代数式的表示和利润的含义以及配方法。
二次函数是初中代数的重要内容之一,也是各地中考试题中重点考查的知识点之一,试题越来越重视对学生灵活运用知识的能力、探索创新能力和实践能力的考查。
联系客服